高中数学必修1-2.3《幂函数》同步练习

2.3《幂函数》同步练习一、选择题1．下列幂函数为偶函数的是(  )A．y＝x－1B．y＝xC．y＝xD．y＝x2[答案] D2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是(  )A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．y＝x[答案] B[解析] 函数y＝x，y＝x3，y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(  )A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3[答案] A[解析] 函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，函数y＝x和y＝x3的定义域为R且为奇函数．4．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，那么该幂函数的解析式是(  )A．y＝xB．y＝xC．y＝x－D．y＝x－1[答案] D[解析] 设y＝f(x)＝xα(α是常数)，则－＝(－2)α，所以(－2)－1＝(－2)α，5 所以α＝－1.故所求幂函数为y＝x－1.5．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(  )[答案] C[解析] 直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠.故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．6．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(  )A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a[答案] A[解析] 对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故()c，∴a>c>b，故选A.二、填空题7．若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是________．[答案] [0，＋∞)[解析] 由已知得a＝1，∴y＝x，∴y≥0，值域为[0，＋∞)．5 8．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．[答案] f(x)＝x－1[解析] ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1；∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.9．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．①y＝x；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x.[答案] ③[解析] ①中函数y＝x不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x是奇函数．故填③.三、解答题10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．[解析] (1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.5 (4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.11．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析] (1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．12．幂函数f(x)的图象经过点(，2)，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)x为何值时f(x)＞g(x)？x为何值时f(x)＜g(x)?[解析] (1)设f(x)＝xα，则()α＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2，设g(x)＝xβ，则(－2)β＝，∴β＝－2，∴g(x)＝x－2(x≠0)．(2)从图象可知，当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；5 当－1＜x＜0或0＜x＜1时，f(x)＜g(x)．5