2.3幂函数讲义

2.3幂函数一、幂函数的概念1、幂函数的概念：一般地，函数f(x)＝叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。注意：（1）系数为1；（2）底数是自变量x；（3）指数为常数。例1：判断下列函数哪些是幂函数：①y＝4x②y＝x4③y＝－4x④y＝⑤y＝x⑥y＝⑦y＝(2－1)x(＞且≠1)【解析】：（2）（3）（5）例2：已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(  )A：16B：C：D：2【解析】：C变式练习：幂函数f(x)的图象过点(4，)，且f(x)＝8，则x＝()A：B：64C：D：【解析】：D2、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x)＝当＝3，2，1，，，－1，－2的图象幂函数在第一象限的图象特征：（1）＞1，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增。（2）0＜＜1，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增。（3）＜0，图象过点(1，1)，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近。例3：指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。（1）f(x)＝（2）g(x)＝（3）h(x)＝（4）r(x)＝变式练习：函数g(x)＝的定义域为（）A：(－∞，＋∞)B：(－∞，0)∪(0，＋∞)C：(－∞，0)D：(0，＋∞)【解析】：B例4：比较下列各组数的大小（1），（2），【解析】：＜＞变式练习1：实数，，的大小关系用“＜”顺次连接是_________。【解析】：＜＜变式练习2：设∈(－1，0)，则下列不等式中正确的是（）A：＞＞B：＞＞C：＞＞D：＞＞【解析】：B例5：当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝的图象恒在y＝x的下方，则的取值范围是（）A：0＜＜1   B：＜1C：＞0    D：＜0【解析】：B变式练习1：函数f(x)＝(n∈N，n＞2)的图象只可能是（） 【解析】：C变式练习2：幂函数y＝，y＝，y＝的图象如下图所示，则（）A：m＞n＞p  B：m＞p＞nC：n＞p＞m  D：p＞n＞m【解析】：A变式练习3：幂函数y＝(m、n∈N，且m、n互质)的图象如下图所示则（）A：m为奇数，n为偶数，＜1B：m、n均为奇数，＜1C：m为奇数，n为偶数，＞1D：m为偶数，n为奇数，＜1【解析】：A例6：已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－)＞f(－1)的实数的取值范围。【解析】：（1）m2＋m＝m(m＋1)，则m与(m＋1)中必有一个为偶数，则m2＋m为偶数，故定义域，在定义域内为增函数；（2）若该函数还经过点(2，)，则m2＋m＝2，m＝1或m＝－2，m∈N＋，m＝1，∴f(x)＝，函数f(x)在是增函数，故1≤＜ 变式练习1：已知函数f(x)＝(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的的范围。【解析】：函数f(x)在(0，＋∞)减函数，故3m－9＜0，m＜3，m∈N＋，m可取1、2、3，又因为f(x)偶函数，故m＝1；，则。则(＋1)＞(3－2)＞0或(3－2)＜(＋1)＜0，得＜＜或＜－1课后综合练习1、下列函数中，是幂函数的是（）A：B：C：D：【解析】：D2、在函数y＝，y＝3x3，y＝x2＋2x，y＝x－1，y＝x2中，幂函数有(  )A：1个B：2个C：3个D：4个【解析】：B3、若幂函数在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为(  )A：－1B：2C：3D：【解析】：D4、幂函数在第一象限的图象如图所示，则，b，c，d的大小关系是(  )A：＞b＞c＞dB：d＞b＞c＞C：d＞c＞b＞D：b＞c＞d＞【解析】：D5、已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(  )A：16B：2C：D：【解析】：C6、函数的图象是（）A：B：C：D：【解析】：A 7、函数和图象满足（）A：关于原点对称B：关于轴对称C：关于轴对称D：关于直线对称【解析】：D8、函数，满足（）A：是奇函数、减函数B：是偶函数、增函数C：是奇函数、增函数D：是偶函数、减函数【解析】：C9、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性（1）的定义域_____________________，奇偶性为_____________________（2）的定义域_____________________，奇偶性为_____________________（3）的定义域_____________________，奇偶性为_____________________（4）的定义域_____________________，奇偶性为_____________________（5）的定义域_____________________，奇偶性为_____________________【解析】：（1）R偶（2）R奇（3）非（4）R奇（5）x≠0奇10、设，如果f(x)是正比例函数，则m＝________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是幂函数，则m＝________。【解析】：－1211、若一个幂函数的图象过点，则的解析式为___________。【解析】：12、比较下列各组数的大小（1）（2）（3）【解析】：＞＜＞13、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围为。【解析】：m＞14、已知函数f(x)＝是幂函数，求实数的值为。【解析】：m＝0或m＝－115、已知幂函数f(x)＝(p∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足＜的的取值范围。【解析】：p－3＜0，p＜3，函数是偶函数，则p＝1，＜，(－1)＜(3＋2)，＞－416、已知幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)＝ 。求（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，2]时，设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围。【解析】：(m－1)2＝1，则m＝2或m＝0，函数在(0，＋∞)上是增函数，故m＝0。（2）由（1）当x∈[1，2]时f(x)∈[1，4]，而g(x)∈[2－k，4－k]，∵A∪B＝A，故BA，则则0≤k≤1