高中数学2.3幂函数学案 新人教A版必修

2．3 幂函数[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．[知识链接]函数y＝x，y＝x2，y＝(x≠0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性y＝xRR增奇y＝x2R[0，＋∞)在(－∞，0]上减偶在[0，＋∞)上增y＝{x|x≠0}{y|y≠0}在(－∞，0)上减奇在(0，＋∞)上减[预习导引]1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)增增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减 x∈(－∞，0]减定点(1,1)要点一 幂函数的概念例1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解 根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．2．幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．跟踪演练1 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.答案 10解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10.要点二 幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(  ) A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．跟踪演练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(  )A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1答案 B解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.要点三 比较幂的大小例3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)－1与－1； (3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.解 (1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且＞，∴＞.(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，∴－1＞－1.(3)0.25＝＝2，6.25＝2.5∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，∴2＜2.5，即0.25＜6.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．跟踪演练3 比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；(3)与.解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，∴0.5＞0.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y＝x是减函数，∴＜.y＝x是[0，＋∞)上的增函数， ∴＞.∴＞.1．下列函数是幂函数的是(  )A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3答案 B解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(  )A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x答案 D解析 y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(  )A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.4．若a＝()，b＝()，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．答案 a＞b＞c解析 ∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数．∴()＞()，即a＞b＞0.而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.5．幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.答案 2 解析 ∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意．综上可知m＝2.1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．一、基础达标1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为(  )A．16B.C.D．2答案 C解析 设f(x)＝xa，则有2a＝，解得a＝－，即f(x)＝x，所以f(4)＝4＝.2．下列命题中正确的是(  )A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数D．幂函数的图象不可能在第四象限答案 D解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝ xα＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．3．下列幂函数中①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为(  )A．2B．3C．4D．5答案 B解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．4．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是(  )A．h(x)＜g(x)＜f(x)B．h(x)＜f(x)＜g(x)C．g(x)＜h(x)＜f(x)D．f(x)＜g(x)＜h(x)答案 D解析 在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示．∴当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，即f(x)＜g(x)＜h(x)．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(  )A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x答案 A解析 由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D不合题意．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意． 6．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)＝－27的x值等于________．答案 －解析 设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，即f(x)＝x－3.由x－3＝－27可知x＝－.7．比较下列各组中两个值的大小：(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；(2)3.5与5.3；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.解 (1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.5＜1.6.(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3.(3)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.5＞5.3.(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3二、能力提升8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(  )A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a答案 C解析 ∵函数y＝x在R上是减函数，又＞，∴＜，即a＜b.又∵函数y＝x在R上是增函数，且＞，∴＞，即c＞b，∴a＜b＜c.9．函数y＝的图象是(  ) 答案 B解析 方法一 代入选项验证即可．方法二 y＝＝＝－＋1，利用函数图象的变换可知选B.10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(  )A．7个B．8个C．9个D．无数个答案 C解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况．11．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域．解 (1)设f(x)＝xa，则由题意可知25a＝5，∴a＝，∴f(x)＝x.(2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝，∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，即lgx≤2，解得0＜x≤100.∴g(x)的定义域为(0,100]，又2－lgx≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．三、探究与创新12．已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z}，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．解 因为m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z},所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)、(2)都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．13．已知幂函数f(x)＝x(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x的增大而减小，求满足(a＋1)