高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 教案精讲

[读教材·填要点]1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)增x∈(－∞，0]减增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞,0)减公共点(1,1)[小问题·大思维]1．你认为幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？提示：幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．2．观察五个幂函数图象，试分析：函数y＝xα在第一象限内的增减性与α有关系吗？提示：当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；当α0时，必有y>0，所以幂函数不会过第四象限． 幂函数概念理解及应用  [例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)解析式．[自主解答] 根据幂函数定义得：m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数不符合要求．故f(x)＝x3.将例1中“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，求f(x)解析式．解：由上述解答中可知当m＝－1时f(x)＝x－3在(0，＋∞)是减函数．∴f(x)＝x－3.    ——————————————————幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根.————————————————————————————————————————1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解：(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 幂函数图象及应用[例2] 如图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α∈.相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为(  )A．－4，－，，4      B．4，，－，－4C．－，－4,4，D．4，，－4，－[自主解答] 由图象知C1、C2为增函数，因此其指数应为正，所以只能是B或D正确，又当x＝时，()－＝(2－4)－＝2，()－4＝(2－4)－4＝216，显然216>2，于是在x＝处y＝x－4的图象应在y＝x－之上方，因此由图可见C3应为y＝x－，C4应为y＝x－4.[答案] B——————————————————(1)已知幂函数的图象特征或性质求解析式时，常用待定系数法.(2)对于幂函数y＝xα的图象，在直线x＝1的右侧，若图象越高，则α的值就越大.——————————————————————————————————————2．点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)，则()>()，从而－8，所以(－)－1＝1；0