人教版数学必修一-第二章-2.3幂函数1

我们知道：函数的完美追求设想： 我们先来看看几个具体的问题:(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________P=W元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积_____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长p是w的函数S=a²S是a的函数V=a³V是a的函数V=t⁻¹km/sV是t的函数一引入(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度a是s的函数a=s1/2若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是: 以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1 1.幂函数的定义：形如y=xa的函数叫做幂函数，其中a是常数且a∈R。2.幂函数的定义域：是使xa有意义的实数的集合。随a的不同而不同。理论 式子名称a(常数）X(自变量)Y(函数值)指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数 1.判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2练习2.若幂函数y=f(x)的图像过点则函数的解析式为 例1如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2 下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究y=x x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=x x-3-2-10123y=x29410149 x-3-2-10123y=x3-27-8-101827 x0124012 x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3 函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点幂函数的性质理论RRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)增[0,+∞)(0,+∞)减(-∞，0]减(-∞，0)减RR奇奇奇增增增偶非奇非偶{x|x≠0}{y|y≠0}(1,1) 例题：幂函数 (1)幂函数的图象都通过点(2)如果α＞０，在区间[0,+∞)上是如果a＜０，在区间(0,+∞)上是当α为偶数时，幂函数为探究：幂函数的性质增函数减函数(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数偶函数；(1,1) 练习3:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11 例1证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数．举例 例2比较下列各组数的大小；利用幂函数的增减性比较两个同指数的数的大小。当不能直接进行比较时,可在两个数数中间插入一个中间数,间接比较这两个数的大小。注意举例>>< 例2、解:考虑函数在[0,+∞)上为单调增函数∴由条件有解得： (1)幂函数的定义；(2)幂函数的性质；(3)利用幂函数的单调性判断大小.小结