高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 教案

2.3幂函数（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=W元P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=a是S的函数（y=）(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=t-1V是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，ɑ 为常数。注意:幂函数的解析式必须是y=ｘa的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2y=（x+1）2y=x2+1是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）不妨也找出典型的函数作为代表：y=xy=x2y=x3y=y=x-1让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像 问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.问题五：所有图像都过哪些点，为什么？学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？学生反应：当0