高中数学 2.3幂函数精讲精析 新人教A版必修

课题：2.3 幂函数精讲部分学习目标展示（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况。衔接性知识1.请画出、、的图象2.请画出的图象3.比较函数与在解析式形式上的不同，并说明哪个是指数函数基础知识工具箱要点定义符号幂函数一般地，函数的函数叫幂函数，其中是自变量，是常数是常数注：幂函数的特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同幂函数在第一象限的图象几个常用幂函数的图象 幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且函数在区间上是增函数；（3）时，幂函数的图象不过原点，幂函数在区间上是减函数.当时，轴与轴是幂图象的渐近线；（4）当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（5）幂函数在第四象限无图象.典例精讲剖析例1.比较下面大小：（1）、与（2）、与【解析】（1）在上是增函数，且，又在上是增函数，且，从而（2）由指数函数的性质，得，，又在上减函数，且，从而有例2.幂函数的图像不经过原点，求实数的值。【解析】因为函数是幂函数，所以，，当时，，数的图像都不经过原点；当时，，数的图像都经过原点，所以例3.已知幂函数的图象过点，试求：（1）的定义域（2）的奇偶性（3）的单调区间．[解析]设，则 ∵的图象过点，∴，即，∴，∴，即.(1)欲使有意义，须，∴，∴的定义域为．(2)对任意且，有，∴为偶函数．(3)，∴在上是减函数，又为偶函数，∴在上为增函数，故单调增区间为，单调减区间为．例4.已知函数，当取什么值时，（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）在第一象限它的图像是上升的曲线。【解析】（1）由题意，得，，（2）由题意，得，，（3）由题意，得，，精练部分A类试题（普通班用）1.设、满足，则下列不等式中正确的是(  )A．B．C．D．[答案] C[解析] ∵单调减，，∴，排除A.∵单调减，，∴，排除B.∵与在(0,1)上都是增函数，，，，∴C对D错．2.在同一坐标系内，函数和的图象应是(  ) [答案] B[解析] 首先若，，应为增函数，只能是A或C，应有纵截距因而排除A、C；故，幂函数的图象应不过原点，排除D，故选B3.函数的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．[答案] ；；[解析] ∵，∴，即，定义域为，的单调增区间为，单调减区间为，是由向左平移3个单位得到的．∴的单调增区间为，单调减区间为．4．比较下列各组中两个数的大小（1）与（2）与【解析】（1）在单调递增，且（2），又在单调递减，且，从而有5．已知函数，为何值时，是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[解析] (1)若为正比例函数，则； (2)若为反比例函数，则；(3)若为二次函数，则；(4)若为幂函数，则，∴.B类试题（3+3+4）（尖子班用）1.设、满足，则下列不等式中正确的是(  )A．B．C．D．[答案] C[解析] ∵单调减，，∴，排除A.∵单调减，，∴，排除B.∵与在(0,1)上都是增函数，，，，∴C对D错．2.幂函数的图象分布在第一、二象限，则实数的值为(  )A．2或－3  B．2C．－3D．0[答案] B[解析]由得或，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，.3.在同一坐标系内，函数和的图象应是(  )[答案] B[解析] 首先若，，应为增函数，只能是A或C，应有纵截距因而排除A、C；故，幂函数的图象应不过原点，排除D，故选B.4.已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为________．[答案]  [解析]设，则，，5．若，则实数的取值范围是________．[答案] [解析] ∵在R上为增函数，.∴，∴6．函数的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．[答案] ；；[解析] ∵，∴，即，定义域为，的单调增区间为，单调减区间为，是由向左平移3个单位得到的．∴的单调增区间为，单调减区间为．7.比较下列各组中两个数的大小（1）与（2）与【解析】（1）在单调递增，且（2），又在单调递减，且，从而有8.已知函数，为何值时，是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[解析] (1)若为正比例函数，则； (2)若为反比例函数，则；(3)若为二次函数，则；(4)若为幂函数，则，∴.9.运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式成立的的取值范围．[解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数与的图象，观察图象可见，当时，∴，∴.解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．∵且，又当时为增函数，当时为减函数，，∴∴.10.（1）作出函数的大致图象，并指出单调区间，（2）求当时，函数的值域．[解析]（1），先作的图象，再把图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得的图象如下 由此可知，的单调减区间为和（2）在上是减函数，当时，又在上是减函数，当时，所以，当时，函数的值域为