自主学习·基础知识解题模板·规范示例合作探究·重难疑点课时作业2．3幂函数
一、幂函数的概念一般地，函数_______叫做幂函数，其中__是自变量，___是常数．y＝xαxα
二、幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)增x∈(－∞，0)减增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减公共点都经过点_______(1，1)
三、幂函数与指数函数的区别与联系函数指数函数幂函数解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)y＝xα(α∈R)相同点右边都是幂的形式不同点幂函数的未知数是底数，而指数函数的未知数是指数；指数函数定义域为R，与a无关，而幂函数y＝xα的定义域随α的不同而不同
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．()(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()【答案】(1)×(2)×(3)×
2．下列函数中，不是幂函数的是()A．y＝2xB．y＝x－1【解析】由幂函数定义知y＝2x不是幂函数，而是指数函数．【答案】A
3．函数y＝x3的图象关于________对称．【解析】函数y＝x3为奇函数，其图象关于原点对称．【答案】原点
预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4
(1)若y＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．(3)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________．
(3)根据幂函数的定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
①求f(x)、g(x)的解析式；②求当x为何值时：(ⅰ)f(x)＞g(x)；(ⅱ)f(x)＝g(x)；(ⅲ)f(x)＜g(x)．
【思路探究】(1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f(x)＝xa、g(x)＝xb，把A，B两点的坐标分别代入求得a，b即可．画出相应的函数图象，数形结合求得x的范围．
②令f(x)＝g(x)，解得x＝±1.在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图象，如图：
由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(－1，1)．所以(i)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(ⅱ)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(ⅲ)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
1．幂函数的图象有以下特点：(1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
2．幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法(1)当α＜0时，其图象可以类似y＝x－1画出；
比较下列各组数的大小：
【思路探究】比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(3)可找中间量进行比较．
幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．
比较大小，说明理由．
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．
4．比较大小．(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．
分类讨论思想在幂函数中的应用
【思路探究】以a－1，3－2a是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解．
[类题尝试]
【解】由题意得m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.∴m＝1或m＝2.
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