高中数学第二章数Ⅰ2.3幂函数互动课堂学案

2.3幂函数互动课堂疏导引导一、幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中,x是自变量,α是常数.疑难疏引1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:(1)当指数n是正整数时,定义域是R.(2)当指数n是正分数时,设n=(p、q是互质的正整数,q>1),则xn=x=.如果q是奇数,定义域是R;如果q是偶数,定义域是［0,+∞).(3)当指数n是负整数时,设n=-k,xn=,显然x不能为零,所以定义域是{x|x∈R且x≠0}.(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则xn==.如果q是奇数,定义域是{x|x∈R,且x≠0};如果q是偶数,定义域是(0,+∞).3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=ax中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.二、幂函数的图象和性质如图所示,幂函数有如下性质:1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);2.如果a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数; 3.如果a0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n4,得m>3或m0.另外要注意到要表达成集合的形式.【答案】{x|x≥0},{x|x>0}.4．下列4个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是(  )A.y=xB.y=x3C.y=x-D.y=x-【思路解析】根据幂函数的性质知,函数y=x在R上是单调递增的,∴在(-∞,0)上也是增函数;函数y=x3在R上是单调递增的,∴在(-∞,0)上也是增函数;函数y=x-在(-∞,0)上是单调递增的,在R+上是单调递减的;函数y=x-的定义域是R+,在(-∞,0)上没有定义,∴函数y=x-在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选D.【答案】D5．函数y=(3x-2)+(2-3x)-的定义域为.【思路解析】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条件,(3x-2)的底数非负,(2-3x)-的底数非零.依题意得x>.【答案】(,+∞)6.已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为(  )A.c