2016高中数学 2.3幂函数同步测试 新人教a版必修1

第二章 2.3幂函数基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考山东卷文科，3题)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是(  )A．acC．c>a>bD．b>c>a[答案] A[解析] 对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故()c，∴a>c>b，故选A.二、填空题7．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．[答案] f(x)＝x－1[解析] ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1；∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.8．(2015·高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．①y＝x；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x.[答案] ③[解析] ①中函数y＝x不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－x是奇函数．故填③.三、解答题9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．[解析] (1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0， 故m＝－.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.10．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析] (1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．能力提升一、选择题1．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(  )A．n＜m＜0B．m＜n＜0C．n＞m＞0D．m＞n＞0 [答案] A[解析] 由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m＜0，n＜0.2．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是(  )A．(0,1)B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] 幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C.3．函数y＝x的图象是(  )[答案] B[解析] 显然代数表示式“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x，故选B.4．(2015·山东临沂期末)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(log216)＝(  )A．2B.C.D.[答案] A[解析] 设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝，f(log216)＝f(4)＝＝2，故选A.二、填空题5．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．[答案] (3,5) [解析] ∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴解得∴3＜a＜5.6．若a＝()，b＝()，c＝()，则a、b、c的大小关系是________．[答案] b＜a＜c[解析] 设f1(x)＝x，则f1(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵＞，∴a＞b.又f2(x)＝()x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．[解析] (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－32，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．