2.3 幂函数1．幂函数的概念(1)概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)特征特征只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数．【例1－1】下列函数是幂函数的是( )A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．答案：B辨误区指数函数与幂函数的区别函数名称解析式解析式特征指数函数[来源:www.shulihua.net]y＝ax(a＞0，且a≠1)底数是常数，自变量在指数位置上幂函数y＝xα(αR)指数是常数，自变量在底数位置上【例1－2】已知函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－m－1是幂函数，则m＝__________．解析：由题意知，若f(x)为幂函数，则m2＋2m－2＝1．即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3．答案：1或－32．幂函数的图象与性质(1)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的图象．(2)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的性质．y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1
图象[来源:www.shulihua.net]定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，[来源:www.shulihua.net]在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)(3)幂函数y＝xα在第一象限的特征α的范围过定点单调性α＞0[来源:www.shulihua.net]α＞1(0,0)，(1,1)下凸递增0＜α＜1上凸递增α＜0(1,1)递减，且以两坐标轴为渐近线点技巧巧记幂函数的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型．【例2－1】下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析：当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(αR)，y＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．答案：C【例2－2】幂函数y＝x2，y＝x－1，，在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3解析：由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，在第一象限内的图象为C2，在第一象限内的图象为C3．答案：D【例2－3】下列六个函数：，，，，y＝x－2，y＝x2．其中定义域为R的函数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个解析：函数，故其定义域为R；函数，故其定义域为[0，＋∞)；函数，故其定义域为(－∞，0)(0，＋∞)；函数，故其定义域为R；函数y＝x－2＝的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)；函数y＝x2的定义域为R．所以定义域为R的函数有3个，应选B．答案：B点技巧求幂函数定义域的方法 幂函数的定义域随α的取值不同而不同，求幂函数的定义域时可分四种情况：①α为正整数；②α为负整数；③α为正分数；④α为负分数．若是分数指数型幂函数应先化为根式，再由根式的性质求定义域．3．利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值．利用待定系数法求幂函数的解析式时，常常遇到解方程，比如mα＝n，这时先把n化为以m为底数的指数幂形式n＝mk，则解得α＝k．还可以直接写出α＝logmn，再利用对数的运算性质化简logmn．例如，解方程，由于＝6－2，所以α＝－2．当然，也可以直接写出，再利用对数的运算性质得α＝log66－2＝－2．【例3－1】幂函数f(x)的图象过点，则f(3)＝__________．解析：设f(x)＝xα，则，所以α＝＝－2．
所以f(x)＝x－2．所以f(3)＝3－2＝．答案：【例3－2】已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(mZ)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．解：∵f(x)＝xm2－m－2(mZ)是偶函数，∴m2－m－2为偶数．又∵f(x)＝xm2－m－2(mZ)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－m－2＜0，即－1＜m＜2．∵mZ，∴m＝0或m＝1．当m＝0时，m2－m－2＝－2为偶数，当m＝1时，m2－m－2＝－2为偶数．∴f(x)的解析式为f(x)＝x－2．点技巧根据性质求幂函数解析式的方法 根据幂函数的性质确定指数m2－m－2＜0是解题的关键，通过缩小范围，结合mZ，得到m的一组值，但未必都满足函数是偶函数，因此，需对m的值逐个检验．4．幂的大小比较对于幂的大小比较问题，需搞清底数与指数是否相同，若底数相同可利用指数函数的单调性，若指数相同可利用幂函数的单调性，若两者都不同，可选取适当的中间变量，常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂．列表如下：分类考查对象方法底数相同，指数不同与利用指数函数y＝ax的单调性指数相同，底数不同x1α与x2α利用幂函数y＝xα的单调性底数、指数都不同与寻找中间变量0,1或bx1或ax2【例4】比较下列各组数的大小．(1)和；(2)30.8和30.7；(3)和；(4)和；(5)，和．解：(1)∵函数在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，∴．(2)∵函数y＝3x是增函数，∴30.8＞30.7．(3)∵，函数在(0，＋∞)上为增函数，又，∴，从而．(4)∵，∴．(5)∵，∴．5．与幂函数有关的简单不等式(1)与幂函数有关的不等式往往是[f(x)]α＞[g(x)]α，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性，转化为关于f(x)和g(x)的不等式组．
例如，解不等式，由于幂函数是[0，＋∞)上的增函数，则原不等式等价于解得－1≤x≤，所以原不等式的解集是．解不等式的过程中，不能忽视幂函数的定义域，否则容易出错．如上例中，易忽视幂函数的定义域是[0，＋∞)，错得x≤．(2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例5】若，求实数a的取值范围．解：错解∵函数是减函数，由，得a＋1＞3－2a，解得a＞．故实数a的取值范围是a＞．错解原因错解中将函数值的大小转化为自变量值的大小时忽略了定义域以及单调区间的限制，只有在同一个单调区间内才能在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．正解，．(1)当即a＜－1时，不等式的左边为负数，右边为正数，不等式成立；(2)当时，必有a＋1＞3－2a，即解得；(3)当时，必有a＋1＞3－2a，即此不等式组无解．综上可得，实数a的取值范围是a＜－1或．
辨误区误用性质出现的错误 本题极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域上为减函数的错误．故需分底数一个大于0，另一个小于0，底数都小于0，底数都大于0三种情况讨论．6．幂函数图象的应用在解决有些问题时，利用幂函数的图象和性质可以起到化繁为简、化难为易的效果．例如，设x(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，求p的取值范围．解：我们可以在第一象限内作出p＞1，0＜p＜1，p＜0时幂函数的图象，根据图象求解，如图所示．显然，当x(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方的是0＜p＜1和p＜0两种情况，故p的取值范围是(－∞，0)(0,1)．【例6】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，则当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．分析：设出幂函数的解析式，利用待定系数法求出函数f(x)和g(x)的解析式，再利用图象判断即可．解：设f(x)＝xα，由题意，得，于是α＝2，即f(x)＝x2．设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，于是β＝－2，即g(x)＝x－2．在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
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