2018_2019学年高中数学2.3幂函数课件新人教A版必修1

2018_2019学年高中数学2.3幂函数课件新人教A版必修12.3幂函数目标导航课标要求1.了解幂函数的概念,,会求幂函数的解析式..2.结合幂函数y=x,y=x22,y=x33,y=1x,y=12x的图象,,掌握它们的性质..3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小..素养达成通过本节内容的学习,,使学生了解幂函数的图象和性质,,提高学生的直观想象和数学运算能力..新知探求课堂探究新知探求素养养成【情境导学】导入请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x,y=x22,y=的图象,,并观察它们的共同特点..1x答案::这些函数都是以幂的底数为自变量,,指数为常数,,它们的图象都过点(1,1).这类函数称之为幂函数..知识探究1.幂函数的概念一般地,,函数叫做幂函数,,其中是自变量,,是常数..探究11::幂函数与指数函数的自变量有何区别??答案::幂函数是形如y=x((RR),自变量在底数上,,而指数函数是形如y=axx(a0且a1),自变量在指数上..y=xxx2.幂函数的图象在同一平面直角坐标系中,,画出幂函数y=x,y=x22,y=x33,y=,y=x--11的图象如图::12x探究2:幂函数图象不可能出现在第几象限??答案::第四象限..这是因为y=x中当x0时,y不可能小于0.3.幂函数的性质y=xy=x22y=x33y=12xy=x--11定义域RRRRRR[0,+)){x|x0}值域RR[0,+))RR[0,+)){y|y0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数xx[0,+))时,,函数xx((--,0]时,,函数函数函数xx(0,+))时,,函数xx((--,0)时,,减函数增减增增减【拓展延伸】函数y=xnn(n=,p,qZ,|p|与|q|互质))的图象n=qp,|p|与|q|互质n00n1n1pp和和qq都是奇数举例:y=35x-举例:y=35x举例:y=53xqppp是奇数q,q是偶数举例:y=45x-举例:y=45x举例:y=65xpp是偶数q,q是奇数举例:y=34x-举例:y=34x举例:y=54x自我检测11.(概念))下列函数中是幂函数的为(())①y=axmmm(a,m为非零常数,,且aa1);②y=13x+x22;;③y=x;;④y=(x--1)33(A)①③④(B)③(C)③④(D)全不是BB解析::根据幂函数的定义,xaa的系数为1,指数位置的aa为一个常数,,且常数项为00可知,,只有③满足定义,,故选B.22.(概念))函数y=(m22+2m--2)11mx-是幂函数,,则mm等于(())(A)1(B)--33(C)--33或11(D)2B3.((求解析式))幂函数的图象过点(2,2),则该幂函数的解析式为(())(A)y=x--11(B)y=12x(C)y=x22(D)y=x33B4.(图象特征))函数y=53x的图象大致是图中的(())解析::因为函数y=53x是奇函数,,且==531,所以函数图象为B.B55.(单调性))若f(x)=x在(0,+)上单调递增,,则的取值范围为..答案::(0,+)题型一幂函数的概念课堂探究素养提升【例11】(1)下列函数::①y=x33;;②y=((12))xx;;③y=4x22;;④y=x55+1;⑤y=(x--1)22;;⑥y=x;⑦y=axx(a1).其中幂函数的个数为(())(A)1(B)2(C)3(D)4(2)已知f(x)=(m22--3m+3)13mx-为幂函数,,则mm等于(())(A)1(B)21(C)1或22(D)--22解析::(1)②⑦为指数函数,,③中系数不是1,④中解析式为多项式,,⑤中底数不是自变量本身,,所以只有①⑥是幂函数,,故选B.(2)由幂函数的定义可知mm22--3m+3=1,即mm22--3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.方法技巧幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,,底数为自变量,,系数为1.即时训练11--1:已知y=(m22+2m--2)21mx-+2n--33是定义域为RR的幂函数,,求nm,n的值..解::由题意得22221,10,230,mmmnì+-=ï-¹íï-=î解得3,3.2mn=-ìïí=ïî【备用例11】】(1)(2018贵州高一月考))幂函数y=f(x)经过点(3,3),则f(x)是(())解析::(1)设幂函数的解析式为y=x,,将(3,3))代入解析式得33==3,,解得==12,,所以y=12x..故选D.(A)偶函数,, 且在(0,+)上是增函数(B)偶函数,,且在(0,+)上是减函数(C)奇函数,,且在(0,+)上是减函数(D)非奇非偶函数,,且在(0,+)上是增函数(2)幂函数f(x)=xmm是偶函数,,在x(0,+)为增函数,,则mm的值可以为((填序号).①--1;②2;③4;④--11或2.(2)因为幂函数f(x)=xmm是偶函数,,在x(0,+)为增函数,,所以mm是正偶数,,所以mm的值可能是22或4.答案::(1)D(2)②③题型二幂函数的图象【例22】(1)(2018安庆高一期末))幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(())解析::(1)设幂函数的解析式为y=xaa,,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4aa,,解得a=12,,所以y=x,,其定义域为[0,+),且是增函数,,当10x1时,,其图象在直线xy=x的上方..对照选项,,故选C.(2)(2017江西高一月考))若四个幂函数y=xaa,y=xbb,y=xcc,y=xdd在同一坐标系中的图象如图,,则a,b,c,d的大小关系是(())(A)dcba(B)abcd(C)dcab(D)abdc解析::(2)在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,,图象由下至上,,幂指数增大,,所以abcd.故选B.方法技巧根据幂函数的图象比较指数的大小,,可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断,,也可利用特征,,如令x=2,作出直线x=2与各图象的交点,,由指数函数y=2xx的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系..即时训练22--11::如图所示的曲线是幂函数y=x在第一象限的图象,,已知{{--4,--14,,14,4}},,对应于曲线CC11,C22,C33,C44的值依次为(())(A)--4,--14,,14,4(B)4,14,,--14,,--44(C)--14,,--4,4,14(D)4,14,,--4,--14解析::作直线x=2,与四条曲线交点的纵坐标从上到下依次为2244,,142,,142-,2--44,,且2244142142-2--44,,故CC11,C22,C33,C44的值依次为4,14,,--14,,--4.故选BB..【备用例22】y=--11x+的图象是(())解析::法一将函数y=--1x的图象向左平移11个单位,,就可以得到y=--11x+的图象((图略),因此应选B.法二取x=--2,则y=1,即((--2,1)在y=--11x+的图象上..显然应排除DA,D项0;x=0时,,y=--1,即(0,--1)也应在y=--11x+的图象上,,所以应排除CC项,,故选B.题型三幂函数的性质(1)--788-和--7819æöç÷èø;;【例33】比较下列各组数的大小::解::(1)--788-==--7818æöç÷èø,,函数y=78x在(0,+))上为增函数,,又1819,,则7818æöç÷èø7819æöç÷èø,,从而--788---7819æöç÷èø..(2)(--2)--33和((--2.5)--33;;(2)幂函数y=x--33在((--,0)和(0,+)上为减函数,,因为0--2--2.5,所以((--2)--33(--2.5)--33..(3)(1.1)--0.1和(1.2)--0.1;;(4)()254.1,,()233.8-和()351.9-..(4)因为()254.1251=1,0()233.8-231-=1,()351.9-0,所以()351.9-()233.8-()254.1..解::(3)幂函数y=x--0.1在(0,+)上为减函数,,因为01.11.2,所以1.1--0.11.2--0.1..方法技巧比较幂值的大小,,关键在于构造适当的函数,,若指数相同而底数不同,,则考虑幂函数;;若指数不同底数相同,,则考虑指数函数;;若底数不同,,指数也不同,,需引入中间量,,利用幂函数与指数函数的单调性,,也可以借助幂函数与指数函数的图象..即时训练33--1:比较下列各组中两个数的大小::(1)351.5,,351.7;;(2)0.71.5,0.61.5;;(3)()231.2--,,()231.25--..解::(1)因为幂函数y=35x在(0,+))内单调递增,,所以351.5351.7..(2)因为幂函数y=x1.5在(0,+)内单调递增,,所以0.71.50.61.5..(3)因为幂函数y=23x-在((--,0)内单调递增,,所以()231.2--()231.25--..解::(1)因为函数在(0,+)上递增,,所以99--3m0,解得m3,又mNN**,,所以m=1,2,又函数图象关于原点对称,,所以99--3m为奇数,,故m=2.所以f(x)=x33..【备用例33】(2017高一期中))已知幂函数f(x)=x99--3m(mNN**))的图象关于原点对称,,且在RR上函数值随xx的增大而增大..(1)求f(x)的表达式;;(2)求满足f(a+1)+f(3a--4)0的aa的取值范围..解::(2)因为f(a+1)+f(3a--4)0,所以f(a+1)--f(3a--4).又f(x)为奇函数,,所以f(a+1)f(4--3a).又函数在RR 上递增,,所以a+14--3a.所以a34..所以aa的取值范围是((--,,34))..题型四易错辨析对幂函数理解不全致误【例44】若(a+1)--11(3--2a)--11,,求实数aa的取值范围..纠错::f(x)=x--11在((--,0)和(0,+)上均为减函数,,但在((--,0)(0,+)上不具有单调性,,在此错用函数单调性..错解::因为幂函数f(x)=x--11为减函数,,所以由(a+1)--11(3--2a)--11,,得a+13--2a,解得a23..故实数aa的取值范围是((23,+))..正解::由于幂函数f(x)=x--11在((--,0)及(0,+))上均为减函数,,且在((--,0)上有f(x)0;在(0,+))上有f(x)0,所以由(a+1)--11(3--2a)--11,,得10,320aa+î或a+13--02a0或33--2aa+10,解得a--11或23a32..故实数aa的取值范围是((--,,--1)((23,,32))..