高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数练习新人教A版

2.3 幂函数课时过关·能力提升基础巩固1.下列函数为幂函数的是(  )①y=-x2;②y=2x;③y=xπ;④y=(x-1)3;⑤y=1x2;⑥y=x2+1x.                A.①③④⑤B.①②⑤⑥C.③⑤D.⑤解析:①y=-x2的系数是-1,而不是1,故不是幂函数;②y=2x是指数函数;④y=(x-1)3的底数是x-1,而不是x,故不是幂函数;⑥y=x2+1x是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.很明显③⑤是幂函数.答案:C2.已知m=(a2+3)-1(a≠0),n=3-1,则(  )A.m>nB.m3>0,f(x)在(0,+∞)上是减函数,则f(a2+3)0,则m=3.答案:39.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f12的值等于     . 解析:设f(x)=xα,∵f(4)f(2)=3,∴4α2α=3,∴2α=3,∴α=log23,∴f(x)=xlog23,∴f12=12log23=13.答案:1310.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)内是增函数;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)内是减函数,不符合要求.故f(x)=x3.能力提升1.下列幂函数为偶函数的是(  )A.y=x-1B.y=x12C.y=xD.y=x2答案:D2.下列函数中,对于任意的x(x∈R),都有f(-x)=f(x),且在区间(0,1)内单调递增的是(  )A.f(x)=-x2+2B.f(x)=x12C.f(x)=x2-1D.f(x)=x3解析:对于任意的x(x∈R),都有f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数.很明显,f(x)=x12和f(x)=x3都不是偶函数,故排除选项B,D;结合函数图象,可知f(x)=-x2+2在(0,1)内单调递减,函数f(x)=x2-1在区间(0,1)内单调递增,故选C.答案:C★3.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是(  )A.②①③④B.②③①④C.④①③②D.④③①②解析:∵y=2x的图象过点(0,1),y=log2x的图象过点(1,0),y=x12的图象过点(0,0),y=x-1的图象和坐标轴不相交.故选D.答案:D4.为了保证信息的安全传输,有一种为秘密加密的密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是     . 解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9.答案:95.设a=1234,b=1534,c=1212,则a,b,c的大小关系为     .  解析:构造幂函数y=x34(x∈R),由该函数在定义域内单调递增,知a>b;构造指数函数y=12x,由该函数在定义域内单调递减,所以aa>b.答案:c>a>b6.若y=xa2-4a-9是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数a的值是         . 解析:由题意得,a2-4a-9应为负偶数,即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*),(a-2)2=13-2k,当k=2时,a=5或-1;当k=6时,a=3或1.答案:1,3,5,-17.已知函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+5(a为常数),问(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?分析根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解:(1)由题意得a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,故a=3±52.(2)由题意知a2-5a+5=1,a2-3a+2≠0,解得a=4.(3)由题意知a2-5a+5=-1,a2-3a+2≠0,解得a=3.★8.已知函数f(x)=x13-x-135,g(x)=x13+x-135.(1)计算f(4)-5f(2)g(2);(2)计算f(9)-5f(3)g(3);(3)计算f(16)-5f(4)g(4);(4)由(1)(2)(3)归纳出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的一个等式,并加以证明.解:(1)f(4)-5f(2)g(2)=413-4-135-5×213-2-135×213+2-135=413-4-135-(213)2-(2-13)25=0.(2)f(9)-5f(3)g(3)=913-9-135-5×313-3-135×313+3-135=913-9-135-(313)2-(3-13)25=0.(3)f(16)-5f(4)g(4) =1613-16-135-5×413-4-135×413+4-135=1613-16-135-(413)2-(4-13)25=0.(4)由于4=2×2,9=3×3,16=4×4,因此概括、猜想:对任意x≠0,均有f(x2)=5f(x)g(x).证明:∵5f(x)g(x)=5·x13-x-135·x13+x-135=(x2)13-(x2)-135=f(x2),∴对任意x≠0,均有f(x2)=5f(x)g(x).