高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数练习（含解析）新人教版

2.3 幂函数1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( C )解析:设幂函数为y=xα,将点(4,2)代入得4α=2,α=,故f(x)=.故选C.2.已知点M(,3)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为( D )(A)f(x)=(B)f(x)=(C)f(x)=x2(D)f(x)=x-2解析:设f(x)=xa,代入点M(,3)得()a=3,所以a=-2,所以f(x)=x-2.故选D.3.如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为( A )(A)2,1,,-1(B)2,-1,1,(C),1,2,-1(D)-1,1,2,解析:在图象中,作出直线x=2,根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小,可得曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为2,1,,-1,故选A.4.设a=30.4,b=log30.4,c=0.43,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a>c>b(B)a>b>c (C)c>a>b(D)c>b>a解析:因为b=log30.41,0b.故选A.5.函数y=在区间[4,64]上的最大值为( A )(A)(B)(C)2(D)8解析:因为函数y=为(0,+∞)上的减函数,所以该函数在[4,64]上单调递减,当x=4时y取得最大值,最大值为=,故选A.6.下列结论中,正确的是( C )(A)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数(D)当α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不经过原点,故A错误;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R)>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故B错误;当α>0时,y=xα是增函数,故C正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但在整个定义域上不是减函数,故D错误.故选C.7.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( A )(A)a>c>b(B)a>b>c(C)c>a>b(D)b>c>a解析:由于幂函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,所以()>(),即a>c.由于指数函数y=()x在R上是减函数,且(),即c>b.综上可知,a>c>b.故选A.8.下列幂函数中是奇函数且在(0,+∞)上单调递增的是    (填序号). ①y=x2;②y=x;③y=;④y=x3;⑤y=x-1.解析:由奇偶性的定义知y=x2为偶函数,y==既不是奇函数也不是偶函数.由幂函数的单调性知y=x-1在(0,+∞)上单调递减,易知②④满足题意.答案:②④ 9.设α∈(-2,-1,-,,,1,2,3),则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是    . 解析:由f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,可知α0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,根据以上性质可画出函数y=图象的草图,如图所示.13.已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.(1)求m的值; (2)求函数g(x)=h(x)+在x∈[0,]的值域.解:(1)因为函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,所以m2-5m+1=1,解得m=0或5.又因为h(x)为奇函数,所以m=0.(2)由(1)可知,g(x)=x+,x∈[0,].令=t,则t∈[0,1]⇒g(x)=h(t)=-t2+t+,得值域为[,1].14.已知函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)0且a≠1),求g(x)在(2,3]上的值域.解:(1)因为f(3)0,解得-1