高中数学第二章2.3幂函数学案（含解析）新人教A版

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x，指数为常数．梳理 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当00.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知是幂函数，求m，n的值．考点 幂函数的概念题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得解得或所以m＝－3或1，n＝.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(  )A．0B．1C．2D．3考点 幂函数的概念题点 判断函数是否为幂函数 答案 B解析 因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常数函数y＝1不是幂函数．类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1a>cC．b>c>aD．c>b>a考点 比较幂值的大小题点 利用单调性比较大小答案 B解析 ∵y＝x在R上为减函数，∴，即ac.∴b>a>c.故选B.反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)0.3与0.3；(2)－1与－1；(3)0.3与考点 比较幂值的大小题点 利用中间值比较大小解 (1)∵00.3.(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－－1.(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，②由①②知命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90或3－2a