高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 导学案

2.3 幂函数问题导学一、幂函数的概念及应用活动与探究1已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．迁移与应用1．下列函数中是幂函数的是(  )A．y＝x2x  B．y＝2x  C．  D．y＝3x＋22．若幂函数f(x)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝______.由幂函数的定义，只有形如y＝xα的函数才是幂函数，即系数为1，底数为x，指数为常数的单项式，否则，不是幂函数．二、幂的大小比较活动与探究2比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)，和.迁移与应用1．用“＞”或“＜”填空：(1)________；(2)________；(3)________.2．把下列各数按由小到大的顺序排列：，，3，0，.比较两个幂的大小可以分以下四种情况：(1)同指数，不同底数，但底数为正，则利用幂函数在(0，＋∞)的单调性比较；(2)同底数，不同指数，但底数大于零且不为1，则利用指数函数的单调性比较；(3)底数与指数都不相同的，可引入“中间量”进行比较，“中间量”常为0或1；(4)若底数为负，可根据指数的情况，将幂化简变形，使底数为正，再利用幂函数或指数函数的单调性比较．三、幂函数性质的综合应用活动与探究3已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式． 迁移与应用1．已知幂函数y＝x5－2m(m∈N*)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则m的值是________．2．已知函数y＝(m2－9m＋19)x2m－9是幂函数，且图象不过原点，则m＝__________.若幂函数y＝xα若在(0，＋∞)上是递增的，则α＞0；若在(0，＋∞)上是递减的，则α＜0.当堂检测1．下列函数：①y＝x2＋1；②；③y＝2x2；④；⑤y＝＋1.其中是幂函数的是(  )A．①⑤B．①②③C．②④D．②③⑤2．若幂函数f(x)的图象经过点，则f等于(  )A．4B．2C．D．3．若函数f(x)＝(m2－m－1)x－m＋1是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的取值集合是(  )A．{m|m＝－1或m＝2}B．{m|－1＜m＜2}C．{2}D．{－1}4．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3,9)，那么函数f(x)的单调增区间是______．5．设，，，则a，b，c的大小关系是__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学【预习导引】1．幂函数预习交流1 (1)提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．(2)提示：幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．2．R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇非奇非偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)预习交流2 (1)(0,0)，(1,1) 增 (2)(1,1) 减课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：由幂函数的定义，应有m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，据此可求 m，n的值．解：∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得解得m＝－3或1，n＝.迁移与应用 1．C2．27 解析：设f(x)＝xα，则2α＝2，∴α＝，∴f(x)＝.∴f(9)＝＝33＝27.活动与探究2 思路分析：比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)(2)(3)，可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(4)可找中间量进行比较．解：(1)∵函数在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，∴.(2)，又函数在(0，＋∞)上为增函数，且＞，所以，即.(3)∵函数在(0，＋∞)上为减函数，又＞，∴，∴.(4),0＜＝1；，∴.迁移与应用 1．(1)＜ (2)＞ (3)＜解析：(1)∵幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且＜，∴.(2)∵幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且＞， ∴.又，，∴.(3)，∵幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且2.1＞，∴.又，，∴，即.2．解：∵＞1，0＝1,0＜＜1，3＜0，∴按由小到大的顺序排列为3＜＜0＜＜.活动与探究3 思路分析：∵幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，∴m－3＜0且m－3是偶数．又m∈N*，可求得m的值．解：∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，∴m－3＜0.∴m＜3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵f(x)＝xm－3是偶函数，∴m－3是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－2.迁移与应用 1．1或2 解析：∵幂函数y＝x5－2m在(0，＋∞)上是增函数，∴5－2m＞0，m＜.又m∈N*，∴m＝1或2.m＝1时，y＝x3；m＝2时，y＝x，都是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数．∴m的值是1或2.2．3 解析：由题意得即m＝3.【当堂检测】1．C2．A 解析：设f(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2.∴f＝－2＝22＝4.3．C 解析：由条件知解得m＝2. 4．[0，＋∞) 解析：∵f(x)＝xα的图象经过点(3,9)，∴3α＝9，α＝2.∴f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．5．a＞c＞b 解析：∵(x＞0)为增函数，∴a＞c.∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c＞b.∴a＞c＞b.