高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.4幂函数一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议幂函数的概念了解通过实例，了解幂函数的概念，知道幂函数也是一类函数模型.幂函数的图象与性质了解通过几个常见的幂函数的图象，观察、总结幂函数的变化情况和性质.二、预习指导1.预习目标(1)了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.(2)了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.(3)进一步体会数形结合的思想.2.预习提纲(1)阅读课本P72,了解幂函数的概念，区别幂函数与指数函数.(2)结合课本P72例1，在同一坐标系中作出函数的图象.观察上述图象填写下表：性质函数定义域值域奇偶性单调性定点(3)结合(2)中图象与表格，归纳幂函数的一般性质.3.典型例题(1)幂函数的概念 例1已知为何值时，是幂函数？分析：根据幂函数的概念，建立关于m的方程求解．解：由题得：，解得：点评：形如“(为常数)”的函数叫幂函数，这是一个形似概念，的系数是1.例2若幂函数的图象经过点，求的值.分析：先用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值.解：设，因为的图象经过点，所以，即，，，.点评：注意中，的求法.(2)幂函数的图象与性质例2判断幂函数是否具有下列性质：(1)都过(0，0)点；(2)都过(1，1)点；(3)不是奇函数就是偶函数；(4)至少在(0，+∞)上有定义；(5)不可能是R上的减函数；(6)(0，+∞)是幂函数值域的子集.分析：画出幂函数的图象，观察图象，逐一判断．解：图略幂函数具有性质⑵⑷⑸性质⑴的反例为；性质⑶的反例为；性质⑹的反例为.点评：要熟记幂函数在第一象限的图象与性质，其它象限根据奇偶性来定.例3画出的图形，并讨论的定义域、值域、奇偶性、单调性.分析：根据作出的的图形“看图说话”.解：由题得：的定义域为R；值域为；偶函数；在上单调递增，在上单调递减.点评：研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象. 例4已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于y轴对称，求m的值.分析：结合幂函数图象建立m的方程，但注意的图象也符合题意．解：由题得：，由①解得：，又，∴，分别代入②检验得：点评：容易遗漏的情形.例5比较下列各组数的大小(1)；(2)；(3)；(4).分析：(1)考察幂函数；(2)考察幂函数；(3)(4)都可插入中间量.解：(1)，且在R上单调递增，.(2)，在上单调递减，且，，即.(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现(4)它们的底和指数都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数，利用幂函数和指数函数的单调性得点评：比较幂形式的两个数的大小，一般思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.4.自我检测(1)下列函数中是幂函数的有__________．①；②+1；③；④；⑤；⑥．(2)已知幂函数:①；②；③；④；其中定义域是R的函数有__________；是偶函数的有__________． (3)幂函数的图象过点(4，2)，则__________．(4)幂函数在[1，2]上的最大值是__________．(5)已知函数①；②；③；④其中定义域是R且在R上单调递增的有__________．(6)函数是幂函数，且函数为偶函数，则__________．三、课后巩固练习A组1．在以下四个函数：中，定义域为R的函数为__________．2．(1)函数的定义域为_________．(2)的定义域为_________．3．在以下四个函数：中，值域为的函数共_____个．4．函数的图象是()5．已知函数，若，则实数的取值范围是___________．6.(1)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为________．(2)已知幂函数的图象与轴、轴都无公共点，且关于轴对称，则=___________．7．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比，若气体在半径为3的管道中，流量速率为400，(1)求该气体通过半径为的的管道时，流量速率 的表达式；(2)若气体通过的管道半径为5，计算气体的流量速率(精确到1)．B组8．给出下列四个命题：①幂函数的图象都通过(0，0)，(1，1)两点；②当”、“=”或“