2.4幂函数一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议幂函数的概念了解通过实例,了解幂函数的概念,知道幂函数也是一类函数模型.幂函数的图象与性质了解通过几个常见的幂函数的图象,观察、总结幂函数的变化情况和性质.二、预习指导1.预习目标(1)了解幂函数的概念,会画出幂函数的图象,根据上述幂函数的图象,了解幂函数的变化情况和性质.(2)了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.(3)进一步体会数形结合的思想.2.预习提纲(1)阅读课本P72,了解幂函数的概念,区别幂函数与指数函数.(2)结合课本P72例1,在同一坐标系中作出函数的图象.观察上述图象填写下表:性质函数定义域值域奇偶性单调性定点(3)结合(2)中图象与表格,归纳幂函数的一般性质.3.典型例题(1)幂函数的概念
例1已知为何值时,是幂函数?分析:根据幂函数的概念,建立关于m的方程求解.解:由题得:,解得:点评:形如“(为常数)”的函数叫幂函数,这是一个形似概念,的系数是1.例2若幂函数的图象经过点,求的值.分析:先用待定系数法求出幂函数的解析式,再求的值.解:设,因为的图象经过点,所以,即,,,.点评:注意中,的求法.(2)幂函数的图象与性质例2判断幂函数是否具有下列性质:(1)都过(0,0)点;(2)都过(1,1)点;(3)不是奇函数就是偶函数;(4)至少在(0,+∞)上有定义;(5)不可能是R上的减函数;(6)(0,+∞)是幂函数值域的子集.分析:画出幂函数的图象,观察图象,逐一判断.解:图略幂函数具有性质⑵⑷⑸性质⑴的反例为;性质⑶的反例为;性质⑹的反例为.点评:要熟记幂函数在第一象限的图象与性质,其它象限根据奇偶性来定.例3画出的图形,并讨论的定义域、值域、奇偶性、单调性.分析:根据作出的的图形“看图说话”.解:由题得:的定义域为R;值域为;偶函数;在上单调递增,在上单调递减.点评:研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象.
例4已知幂函数的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,求m的值.分析:结合幂函数图象建立m的方程,但注意的图象也符合题意.解:由题得:,由①解得:,又,∴,分别代入②检验得:点评:容易遗漏的情形.例5比较下列各组数的大小(1);(2);(3);(4).分析:(1)考察幂函数;(2)考察幂函数;(3)(4)都可插入中间量.解:(1),且在R上单调递增,.(2),在上单调递减,且,,即.(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现(4)它们的底和指数都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数,利用幂函数和指数函数的单调性得点评:比较幂形式的两个数的大小,一般思路是:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.4.自我检测(1)下列函数中是幂函数的有__________.①;②+1;③;④;⑤;⑥.(2)已知幂函数:①;②;③;④;其中定义域是R的函数有__________;是偶函数的有__________.
(3)幂函数的图象过点(4,2),则__________.(4)幂函数在[1,2]上的最大值是__________.(5)已知函数①;②;③;④其中定义域是R且在R上单调递增的有__________.(6)函数是幂函数,且函数为偶函数,则__________.三、课后巩固练习A组1.在以下四个函数:中,定义域为R的函数为__________.2.(1)函数的定义域为_________.(2)的定义域为_________.3.在以下四个函数:中,值域为的函数共_____个.4.函数的图象是()5.已知函数,若,则实数的取值范围是___________.6.(1)设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为________.(2)已知幂函数的图象与轴、轴都无公共点,且关于轴对称,则=___________.7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率(单位:)与管道半径(单位:)的四次方成正比,若气体在半径为3的管道中,流量速率为400,(1)求该气体通过半径为的的管道时,流量速率
的表达式;(2)若气体通过的管道半径为5,计算气体的流量速率(精确到1).B组8.给出下列四个命题:①幂函数的图象都通过(0,0),(1,1)两点;②当”、“=”或“