幂函数教材分析

本教材内容的外部知识结构幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.函数的要素：定义域、对应法则一次、二次函数函数的概念及表示方法基本初等函数指数函数对数函数函数的图像幂函数函数的性质：单调性、奇偶性、特殊点三角函数 一、本教材内容的内部知识结构1.知识点幂函数的概念表示方法、图像、性质引例2.内部知识结构练习B1定义练习A3练习B2图像定义域、值域幂函数单调性、单调区间【奇偶性性质特殊点练习A1二、本教材内容的具体分析1.概念分析一般地，形如y＝xa的函数叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数即aÎR。地位与作用：教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.。理解了幂函数的概念，就知道了幂函数的基本形式，有利于幂函数的应用存在性：幂函数在生活中计算股票增长、利息利率等方面有广泛的应用。概念的类：可定义概念概念的定义：函数是属概念，幂函数是种概念，形如y＝xa是种差 1.符号分析形：xa音：x的a次幂意：a个自变量x相乘，a为实数2.性质分析举例研究函数的性质列出函数的对应值表x…-3-2-10123…y=x…-3-2-10123…y=x…011.411.73…y=x2…9410149…y=x3…-27-8-101827…y=x-1…--11…描点，画出函数图像函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1) 图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限总结函数性质（1）所有的幂函数在都有定义，并且图像都通过点（1,1）；（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,+）都是增函数（3）如果a，则幂函数在区间（0,+）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋近于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋近于正无穷时，图像在x轴上方无限地逼近x轴1.例题分析例一.比较下列两个代数式值的大小1)（a+1）1.5,a1.52)(2+a2)-2/3,2-2/3解题思路：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．解：考察幂函数y=x1.5，在第一象限内是单调增函数，a+1＞a，所以（a+1）1.5＞a1.5考察幂函数y=x-2/3，在第一象限内是单调减函数，2+a2＞2，所以(2+a2)-2/3＜2-2/3分析：（1）例题类型：比较大小（底数不同，幂相同）（2）例题的目的与作用：通过例题加深对幂函数性质的理解，是对性质的一个具体应用。利用性质解答问题，实现知识的内化，知识向能力的转化。（3）解答例题所需数学水平：对幂函数的图像性质熟练掌握（这里主要是单调性）（4）例题、习题和练习题搭配关系：习题B第三题都是比较两个幂的值的大小，以此来达到熟练掌握幂函数单调性的目的例二.讨论函数y=x23的定义域，奇偶性，做出图像并说明其增减性。解题思路：先求函数的定义域，列表、描点、连线画出函数图像根据偶函数的性质f（-x）=f（x）判断该函数是偶函数观察图像，并参照幂函数的性质，判断函数的增减区间 解：f（-x）=f（x）=x23函数为偶函数，关于y轴对称列表描点连线定义域为R，[0，+∞）上增函数，（-∞，0]上减函数。分析：（1）例题类型：作图、解答题（2）例题的目的与作用：熟练掌握幂函数图像的特征，分析归纳出幂函数的性质（3）解答例题所需数学水平：会画函数图像并掌握幂函数性质（定义域、奇偶性、单调性）（4）例题、习题和练习题搭配关系：A2、A3、A4、B2、B3一、教学目标、重点、难点1.教学目标知识与技能：（1）通过实例，掌握幂函数概念（2）会画图像、表格（3）理解并掌握幂函数的性质过程与方法：使学生体会通过观察、分析函数图像来研究函数性质的方法情感、态度与价值观：（1）通过参与作图、分析图像的过程，培养探索精神（2）同时在研究函数变化的过程中，渗透辩证唯物主义的观点，培养运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力。2.教学重点幂函数的概念、图像和性质如何突破：为了让学生自主发现函数的性质，教师用列表描点的方法在同一个坐标轴上作出了函数图像，要求学生从图像的定义域、值域、分布象限以及图像的单调性等几方面来观察图像，从而归纳出幂函数的性质。教学过程中教师借助数形结合的思想，让学生养成利用函数图像来研究函数这一思维方法。随后教师安排了几道例题，主要涉及确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性及特殊点等方面知识的考察，巩固今天学习的幂函数的知识，完成了本堂课的数学教学。3.教学难点幂函数的应用