高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数学案（含解析）新人教版

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).知识点1 幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x－是幂函数.(  )(2)函数y＝2－x是幂函数.(  )(3)函数y＝－x是幂函数.(  )提示 (1)√ 函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；(3)× 幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数.知识点2 幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)【预习评价】(1)设函数f(x)＝x，则f(x)是(  )A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________.解析 (1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.(2)易知f(x)＝x－3＝在(0，＋∞)上是减函数，又3.17f(3.71)，即3.17－3>3.71－3.答案 (1)A (2)3.17－3>3.71－3题型一 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(  )A.0B.1C.2D.3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案 (1)B (2)5或－1规律方法 判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数. (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23，∴f＝＝.答案 题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(  )A.－2，－，，2B.2，，－，－2C.－，－2，2，D.2，，－2，－(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当ng(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0，1)时，f(x).(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－.【迁移1】 (变换条件)若将例3(1)中的两数换为“与”，则二者的大小关系如何？解 因为＝30.3，而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又0.3.规律方法 比较幂值大小的三种基本方法 课堂达标1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(  )A.B.4C.D.解析 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，故选C.答案 C2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(  )A.y＝xB.y＝x－C.y＝xD.y＝x解析 A中定义域、值域都是R；B中定义域、值域都是(0，＋∞)；C中定义域、值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞). 答案 D3.设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(  )A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3解析 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数.当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数.故选A.答案 A4.函数y＝x的图象是(  )解析 显然函数定义域为R，且满足“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇函数.又由当01时，x，则>.从而－8－，所以－