高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.3幂函数基础过关1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．3．幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过象限；（3）当时，幂函数的图象过．4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．典型例题例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）此函数的定义域为R，∴此函数为奇函数．（2）∴此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数．（3）∴此函数的定义域为∴此函数为偶函数（4）∴此函数的定义域为∴此函数为偶函数（5）∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（6）∴此函数的定义域为∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）（2）（3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增， 在上单调递减．（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．例2比较大小：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵在上是增函数，，∴（2）∵在上是增函数，，∴（3）∵在上是减函数，，∴；∵是增函数，，∴；综上，（4）∵，，，∴变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）（2） （3）解：（1）（2）（3）例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．变式训练3：证明幂函数在上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．证明：设，则即·此函数在上是增函数 小结归纳1．注意幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质要熟练掌握