高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.3幂函数疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、幂函数一般地，形如y=xa（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数．要点提示判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xa的系数为1，指数位置的a为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可．二、一些常见幂函数的图象与性质1.定义域、值域.幂函数的定义域和值域随a的变化而定.定义域分为x∈R；x≠0；x≥0；x＞0等四种情况.设幂函数y=xa，①当a=0时，y=x0（x∈R且x≠0），即y=1.②当a>0时，若y=xa是偶函数，像y=x2，y=x4，y=等，x∈R，y≥0；若y=xa是奇函数，像y=x，y=x3，y=等，x∈R，y∈R；若y=xa是非奇非偶函数，像y=，y=等，x≥0，y≥0.③当a0；若y=xa是奇函数，像y=x-1，y=x-3，y=等，x∈R且x≠0，y∈R且y≠0；若y=xa是非奇非偶函数，像y=，y=等，x>0，y>0.方法点拨注意此处空半格为准确判断幂函数的定义域和值域，常采取以下变形方式：（1）当幂指数是正分数时，可把幂函数转化成根式的形式；（2）当幂指数是负数时，可先化成正数，若是分数，可化成根式形式去判断.2.幂函数的图象直线类：如y=x0，y=x，它们的图象是直线，其中y=x0上不含（0，1）点，如图①；抛物线类：如y=x2，y=，y=等，如图②；拐线类：如y=x3，y=，y=等，如图③；双曲线类：如y=x-1，y=x-3等，如图④；半支抛物线类：如y=，y=等，图象过点（0，0），（1，1），位于第一象限，如图⑤；像y=，y=x-等，图象过点（1，1），位于第一象限，如图⑥. 方法点拨（1）幂指数大于零的幂函数图象，恒过点（0，0）、（1，1），没有渐近线；幂指数小于零的幂函数图象，恒过点（1，1），存在渐近线，它的图象要么是双曲线，要么是双曲线的一支；（2）在第一象限，作直线x=a（a>1），它同各个图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，以此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小.幂函数的图象形状情况多又复杂，对此充分利用函数的单调性、互为反函数的图象的对称性及奇偶性图象的对称性来分析幂函数的图象，从而让学生掌握和利用这些转化的思想和处理问题的技巧来提高学生画幂函数图象草图的能力．3.幂函数的性质(1)所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）.(2)如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间［0，+∞）上是增函数.特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0