【创新设计】2013-2014版高中数学 2.2-2.3幂函数课件 新人教A版必修1

2.3幂函数 【课标要求】1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．【核心扫描】1．幂函数的概念和性质．(重点)2．五种幂函数的图象的特点．(难点)3．幂函数与指数函数的区别．(易混点) 新知导学1．幂函数的概念函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xα 2．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1图象 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)增x∈(－∞，0]减增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减定点(1,1) 互动探究探究点1幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？提示幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数指数是自变量．探究点2“幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？提示不对，幂函数y＝x2的图象过第二象限，所有的幂函数的图象都不过第四象限，因为对y＝xα而言，当x>0时，必有y>0.探究点3y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？提示不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数． 类型一 幂函数概念的理解及应用【例1】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．[思路探索]首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．解根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3. [规律方法](1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错． 【活学活用1】若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标轴没有交点，试求实数m的值．解由f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1是幂函数，则m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.(1)当m＝3时，f(x)＝x11过原点(0,0)，与坐标轴相交，不合题意；(2)当m＝－1时，f(x)＝x－1的图象与坐标轴无公共点．因此，实数m的值为－1. [思路探索]先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察函数值的变化情况，得出结论． [规律方法]1.幂函数y＝xα的图象恒过定点(1,1)，且不过第四象限．2．解决幂函数图象，需把握两个原则：(1)幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． [规律方法]1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数．2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． . 易错辨析 幂函数的性质理解不透致误【示例】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围． 课堂达标1．下列函数是幂函数的是()．A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．答案B 4．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．解析由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，合题意；当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不合题意．答案2 5．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，求整数m的值．解由题意，得m2－4m