简单的幂函数

§5简单的幂函数 问题引入：我们先看下面几个具体问题：(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付___________元.(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积______.(3)如果正方体的边长为a,那么正方体的体积_______.(4)如果正方形的面积为S，那么正方形的边长______.p是w的函数S是a的函数V是a的函数a是S的函数 (5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度_____________.v是t的函数y=y=y=x3y=xy=x2思考：以上问题中的函数有什么异同？底数是自变量,只是指数不同. 1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数的奇偶性.（重点）2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法.（难点）3.培养学生从特殊归纳出一般的意识. 如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα，这样的函数称为幂函数.探究1.幂函数的定义： 【即时训练】1.判断下列函数是否为幂函数.仅(3)是幂函数(1)y=axm(a≠1). 2.画出幂函数y=x3的图像,并讨论其图像特征（单调性、对称性等）. x…-2-1012…y……-8-1018xyo特征:1.单调性:2.对称性:在R上是增加的.关于原点对称.解：先列出x，y的对应值表，再用描点法画出图像11-1-1y=x3 2.图像关于原点对称.探究2.奇函数一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数.具有的特点 探究点3.偶函数一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.具有的特点当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性. 例如：1xyo1-1-1y=x2xyoby=-x2y=bxyo1-1-1 对奇、偶函数定义域的认识：具有奇偶性的函数,其定义域一定关于原点对称,即由奇函数定义知f(-x)=-f(x),故变量x,-x均在定义域中,同理由f(-x)=f(x)可知-x,x也均在定义域中.【提升总结】 【即时训练】画出下列函数的图像,并判断其奇偶性. xy0-1xyO1(2)偶函数(1)奇函数(3)非奇非偶函数xy0-3 -8844思考： 在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：【即时训练】 xyO观察并找出各函数图象的共同点 例1判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性.解:因为在R上f(x)=-2x5，f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2，所以g(-x)=g(x).所以g(x)是偶函数.考察奇偶性，定义域关于原点对称. 【变式练习】 补全下面四个函数的图像xyoy=x-1xyoy=-x3xyo1y=x2+1xyoy=-x4 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.()（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0]上是增加的,则f(x)在[0,+)上也是增加的.()（3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+)上也是减少的.()1.判断题√×× 2.函数y=的图像是()解析：函数y=是幂函数,幂函数在第一象限内的图像恒过定点(1,1),排除A,D.当x>1时,x>，故幂函数y=的图像在直线y=x的下方,排除C.By=xy=xy=xy=x 4.二次函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(x)在(-,0]上是()A.增加的B.减少的C.先增加后减少的D.先减少后增加的A 6.已知f(x)是奇函数，在(0,+∞)上是减少的，求证:f(x)在(-∞,0)上是减少的.【证明】设任意x1,x2∈(-∞,0),且x1＜x2＜0,则-x1＞-x2＞0.因为f(x)在(0,+∞)上是减少的，所以f(-x1)＜f(-x2).又f(x)是奇函数,所以-f(x1)＜-f(x2)，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(-∞,0)上是减少的. 奇偶性幂函数图像法解析法奇函数偶函数f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)关于原点对称关于y轴对称单调性 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。