幂函数2教案教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。教学目标：㈠知识和技能1．了解幂函数的概念，会画幂函数，，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。2．了解几个常见的幂函数的性质。㈡过程与方法1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。2．使学生进一步体会数形结合的思想。㈢情感、态度与价值观
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。教学重点常见幂函数的概念和性质教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系教学过程 突破思路 本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型．通过研究y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x－1、y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数a＞0时，幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a＜0时，幂函数的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习． 合作讨论 问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？ （1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝． 思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R
；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增． 问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？ （1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝． 思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数， （3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线． 思维过程 研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比． 【例题】讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y＝是幂函数． （1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R． （2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0． （3）f（－x）＝＝＝f（x）， ∴函数y＝是偶函数； （4）∵n＝＞0， ∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增． 由于幂函数y＝是偶函数， ∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示．
新题解答 【例1】比较下列各组中两个数的大小： （1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），． 解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴＜， （2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵＝，＝，又＞， ∴＞． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 【例2】设函数f（x）＝x3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围． 解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x． （2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0； 在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；
f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0． 点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 【例3】求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域． 解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 当t＝－1时，ymin＝3． ∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 变式练习 1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（ ） A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］ D．（0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B 2．函数y＝（1－x2）的值域是（ ） A．［0，＋∞］ B．（0，1） C．（0，1） D．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝． ∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1． 答案：D 3．函数y＝的单调递减区间为（ ） A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞］ D．（－∞，＋∞） 解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B． 答案：B 4．若a＜a，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞0 C．1＞a＞0 D．1≥a≥0 解析：运用指数函数的性质，选C． 答案：C 5．函数y＝的定义域是（ ） A．5≥x≥－3 B．5＞x＞－3 C．x≥5或x≤－3 D．R 解析：由（15＋2x－x2）3≥0． ∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5． 答案：A 6．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________． 解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1． 答案：m＝－1 7．已知函数y＝． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝， （1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1， ∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小． 又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大， ∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．
答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］． 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．
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