指数、对数、幂函数对比

精品资料欢迎下载指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R；留意：⒈指数函数对形状要求严格，前系数要为1，否就不能为指数函数；⒉指数函数的定义仅是形式定义；指数函数的图像与性质：规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性；2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 精品资料欢迎下载当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴；在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”；3.四字口诀：“大增小减”；即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数；4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数；比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，就利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要留意分类争论；3.当底数不同，指数也不同时，就需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移；在f〔X〕后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移；对数函数 精品资料欢迎下载1.对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域〔-∞，+∞〕上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax〔a＞0，a≠1〕的反函数称为对数函数，并记为y=logax〔a＞0，a≠1〕.由于指数函数y=ax的定义域为〔-∞，+∞〕，值域为〔0，+∞〕，所以对数函数y=logax的定义域为〔0，+∞〕，值域为〔-∞，+∞〕.2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了争论对数函数y=logax〔a＞0，a≠1〕的性质，我们在同始终角坐标系中作出函数y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log1x,y=log21x的草图10由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax〔a＞0，a≠1〕的图像的特点和性质.见下表.]a＞1a＜1 精品资料欢迎下载图象〔1〕x＞0性〔2〕当x=1时，y=0质〔3〕当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0〔3〕当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0〔4〕在〔0，+∞〕上是增函数〔4〕在〔0，+∞〕上是减函数补设y1=logaxy2=logbx其中a＞1，b＞1〔或0＜a＜10＜b＜1〕充当x＞1时“底大图低”即如a＞b就y1＞y2性当0＜x＜1时“底大图高”即如a＞b，就y1＞y2质比较对数大小的常用方法有：〔1〕如底数为同一常数，就可由对数函数的单调性直接进行判定.〔2〕如底数为同一字母，就按对数函数的单调性对底数进行分类争论.〔3〕如底数不同、真数相同，就可用换底公式化为同底再进行比较.〔4〕如底数、真数都不相同，就常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称一般形式定义域指数函数y=ax〔a＞0，a≠1〕〔-∞，+∞〕对数函数y=logax〔a＞0，a≠1〕〔0，+∞〕值域〔0，+∞〕当a＞1时，〔-∞，+∞〕当a＞1时函数ax值变1〔x0〕1〔x0〕1〔x0〕logax0〔x1〕0〔x1〕0〔x1〕化当0＜a＜1时，当0＜a＜1时，情况ax1〔x0〕1〔x0〕1〔x0〕logax0〔x1〕0〔x1〕0〔x1〕单调性当a＞1时，ax是增函数；当0＜a＜1时，ax是减函数.当a＞1时，logax是增函数；当0＜a＜1时，logax是减函数. 图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.幂函数的图像与性质幂函数 幂函数精品资料欢迎下载yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以实行按性质和图像分类记忆的方法．娴熟掌握yxn，当n2,1,1,1,323的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②a1,1,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．32③a1,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．2④任何两个幂函数最多有三个公共点．yxn奇函数偶函数非奇非偶函数yyyn1OxOxOxyyy0n1OxOxOxyyyn0OxOxOxyxyx2yx31yx2yx1定义域RRRx|x0x|x0 精品资料欢迎下载奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数yx（xR，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①全部幂函数yx（xR，是常数）的图像都过点1,2,3,1〔1,1〕；②当2时函数yx的图像都过原点〔0,0〕；③当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；④当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）1⑤当2时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）⑥当1时，yx的的图像不过原点〔0,0〕，且在第一象限是“下滑”曲线（如c4）当0时，幂函数yx有以下性质：（1）图象都通过点〔0,0〕,〔1,1〕；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点〔1,1〕后，图象向右上方无限舒展； 精品资料欢迎下载当0时，幂函数yx有以下性质：（1）图象都通过点〔1,1〕；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点〔1,1〕后，越大，图象下落的速度越快；无论取任何实数，幂函数yx的图象必定经过第一象限，并且肯定不经过第四象限；函数yaxbx对号函数（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数 精品资料欢迎下载的图象及均值不等式，当x>0时，axbx（a>0,b>0,x∈R+）的性质:b2（当且仅当axab即xxb时取等号），由此可得函数yaaxbx当xba时，函数yaxb（a>0,b>0,x∈R+）有最小值2xb，特殊地，当a=b=1时函数有最小值2；a函数ybax（a>0,b>0）在区间（0，xb）上是减函数，在区间（ab，+∞）上是增函数；a由于函数yaxbx（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数yaxb（a>0,b>0,x∈R-）的性质：x当xba时，函数yaxb（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2xb，特殊地，当a=b=1时函数有最大值-2；a函数ybax（a>0,b>0）在区间（-∞，-xb）上是增函数，在区间（-ab，0）上是减函数；a