幂函数的概念

1.了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.【考纲下载】第7讲幂函数 一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．对于幂函数，一般只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．提示：y＝x2是幂函数．y＝2x不是幂函数，是指数函数．二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．y＝xα(α∈R)1．幂函数的定义 在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象分别如下图．提示：幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定．2．幂函数的图象 3．幂函数的性质定义域值 域奇偶性单调性定 点函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}RR[0，＋∞)[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶增增增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减(0,0)，(1,1)(1,1) 1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析：根据幂函数的定义和性质易得x＝1,3时，定义域为R且为奇函数．答案：A 2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．答案：C3．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3C．f(x)＝D．f(x)＝解析：设幂函数f(x)＝xα(α∈R)，则∴α＝＝－3，∴f(x)＝x－3.答案：B 4．若函数f(x)＝ ，则f(f(f(0)))＝_____________________.解析：f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.答案：1 有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．一般地，几种幂值的比较方法如下：①幂的底数相同，指数不同型可以利用指数函数的单调性进行比较．②幂的底数不同，指数相同型可以利用幂函数的单调性进行比较．③幂的底数不同，指数不同型常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小． (1)和  ；(2)；(3)0.20.5和0.40.3.思维点拨：利用性质、中间值作转化．解：(1)＝ ，由于幂函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以【例1】比较下列各组值的大小：(2)由于因此(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数，所以0.20.5＜0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)是递增函数，所以0.20.3＜0.40.3，故有0.20.5＜0.40.3. 幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用．【例2】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点    在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．思维点拨：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可． 解：设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：①当x＞1或x＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)． 变式2：方程＝logsin1x的实根个数是()A．0B．1C．2D．3解析：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1=和y2=y2=logsin1x的图象，可知只有唯一交点(如右图所示)．答案：B 对幂函数性质的考查，主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查．【例3】已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数φ(x)＝a的奇偶性． 解：(1)∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，∴m2－2m－3＝－3或－4.又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝x－4.(2)由(1)得φ(x)＝－bx3，φ(－x)＝ ＋bx3.①当a≠0，且b≠0时，φb(x)为非奇非偶函数；②当a＝0，且b≠0时，φ(x)为奇函数；③当a≠0，且b＝0时，φ(x)为偶函数；④当a＝0，且b＝0时，φ(x)既为奇函数又为偶函数． 变式3：已知幂函数f(x)的图象过点(，3)，函数g(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，g(x)＝.求f(x)与g(x)的解析式．解：设f(x)＝xα，∵其图象过(，3)点，故3＝()α，即()3＝()α，∴α＝3，故f(x)＝x3.令x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)．∴g(－x)＝又∵g(x)是偶函数，故g(－x)＝g(x)，∴g(x)＝(－x)，x∈(－∞，0)，∴g(x)＝故g(x)＝  （x∈R). 【方法规律】1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．2．在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 已知幂函数y＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足  的a的取值范围．【阅卷实录】 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式组．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区．从而误用性质产生错误，事实上由幂函数y＝的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域的两个子集上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a这种情况容易被忽略，应引起注意．【教师点评】 解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，【规范解答】 ∴m＝1.而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)＜(3－2a)等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或故a的取值范围为