2018版高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．(难点)3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x－是幂函数．(  )(2)函数y＝2－x是幂函数．(  )(3)函数y＝－x是幂函数．(  )【解析】 (1)√.函数y＝x－符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；(3)×.幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈(0，＋∞)增x∈(－∞，0]减增增x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减公共点(1,1)幂函数的图象过点(3,)，则它的单调递增区间是(  )A．[－1，＋∞)       B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3,)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型]幂函数的概念 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(  )A．0    B．1    C．2    D．3 (2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,)，则f(9)＝________.(3)幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，则m＝________.【精彩点拨】 (1)结合幂函数y＝xα的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(9)的值．(3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)由题意，令y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2，)，得＝2α，α＝，∴y＝f(x)＝x，∴f(9)＝3.(3)∵f(x)＝(m2－2m－2)xm＋m2在(0，＋∞)上是减函数，∴∴m＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.【答案】 幂函数的图象与性质  (1)如图231所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(  )图231A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n0.9－>. 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.[再练一题]3．比较下列各组数的大小.【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．又33.1－.1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(  )             A.B．4C.D.【解析】 设幂函数为y＝xα.∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(  )【导学号：97030118】 A．y＝xB．y＝x－C．y＝xD．y＝x【解析】 A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(  )A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【解析】 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y＝x的图象是(  )【解析】 显然函数y＝x是奇函数．同时当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1)，函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，又 >，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又>，所以