高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案（含解析）

2.3幂_函_数幂函数的概念[提出问题]问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？提示：自变量在底数的位置．问题3：再举出几个这样的函数．提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.[导入新知]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[化解疑难]1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为1，且只有一项．2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数.幂函数的图象与性质[提出问题]问题1：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．提示：如图所示： 问题2：在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．问题3：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．[导入新知]常见幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1y＝x图象定义域RRR{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0