2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数课件新人教A版x

2.3 幂函数 [目标导航] 新知导学·素养养成1.幂函数的概念一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.y=xαxα 思考1:幂函数图象不可能出现在第几象限?答案:第四象限.这是因为y=xα中当x>0时,y不可能小于0.思考2:两个幂函数图象最多有几个交点?最少呢?答案:两个幂函数图象最多有3个交点,如y=x3和y=x的图象,由于幂函数图象都过点(1,1),因此两幂函数图象最少有一个交点. 3.幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0,+∞)时,函数;x∈(-∞,0]时,函数函数函数x∈(0,+∞)时,函数;x∈(-∞,0)时,减函数增减增增减 名师点津各种幂函数的图象和性质当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线. 幂函数y=xα的图象在第一象限内具有如下特征:直线x=1,y=1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,如图.则α∈(1,+∞)⇔y=xα的图象经过区域Ⅰ内;α∈(0,1)⇔y=xα的图象经过区域Ⅱ内;α∈(-∞,0)⇔y=xα的图象经过区域Ⅲ内.并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=xα的指数α由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”,在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. 课堂探究·素养提升 解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m-1=1,且m≤0,解得m=-1,则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值,故选B.(2)(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)是单调递减函数(D)在定义域内有最小值 易错警示(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.(2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,则α≤0,而不是αb>a(B)a>b>c>d(C)d>c>a>b(D)a>b>d>c解析:(2)在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B. 方法技巧(1)根据幂函数解析式选择幂函数图象应根据函数解析式的特征判断函数在第一象限时函数图象的变化趋势,再结合函数的定义域、奇偶性等方面确定函数图象的形状.(2)根据幂函数的图象比较指数的大小,可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断,也可利用特征,如令x=2,作出直线x=2与各图象的交点,由指数函数y=2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系. (2)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则()(A)-1