2018年秋高中数学人教A版必修1 第二章 基本初等函数 2.3 幂函数 学案

2.3 幂函数学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)[自主预习·探新知]1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图231：图231思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？[提示] 第四象限．3．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数[基础自测]1．思考辨析 (1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(  )(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(  )(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(  )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．下列函数中不是幂函数的是(  )A．y＝       B．y＝x3C．y＝3xD．y＝x－1C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]3．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝(  )A．2B．1C．3D．0D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.【导学号：37102308】 [由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，∴f(4)＝4－＝.][合作探究·攻重难]幂函数的概念 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．[解] 由题意得解得所以m＝－3，n＝.[规律方法] 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1[跟踪训练]1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(  ) 【导学号：37102309】A．0         B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.]幂函数的图象及应用 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(1)C (2)B [(1)设幂函数的解析式为y＝xa，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2＝4a，解得a＝，所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0c>d.故选B.]幂函数性质的综合应用[探究问题]1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α30.7.②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.2131.8.又∵y＝1.8x是增函数，且>，∴1.8>1.8，∴2>1.8.④0.9＝，＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.(2)f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0，所以x1－x20，于是f(x2)－f(x1)，所以>.[规律方法] 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.[当堂达标·固双基]1．下列函数为幂函数的是(  )A．y＝2x4       B．y＝2x3－1C．y＝D．y＝x2D [结合幂函数的形式可知D正确．]2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式(  )【导学号：37102312】A．y＝x－1B．y＝xC．y＝x2D．y＝x3B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]3．函数y＝x的图象是(  )A     B    C     DC [∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]4．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________．(0，＋∞) [由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．]5．比较下列各组数的大小．(1)3与3.1；(2)4.1，3.8，(－1.9). 【导学号：37102313】[解] (1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又33.1.(2)4.1>1＝1，0