幂函数、函数与方程

幂函数、函数与方程【教学目标】理解幂函数的定义，掌握幂函数的基本性质（定义域、单调性、奇偶性、定点）及函数图象的形状，并能识别幂函数的图象；理解函数的零点与方程的跟之间的关系，掌握零点存在定理，能够利用零点存在定理判断零点所在的大致区间，初步了解二分法的应用，并学会利用函数的交点解决函数零点个数问题.【教学重难点】幂函数基本性质的应用以及函数的零点存在定理的应用【考点分析】从近几年的高考题来看，幂函数的基本性质与图象以及零点存在定理、函数方程思想一直都是高考中的重点，其中利用零点存在定理判断函数零点所存在的大致区间一般是以选择题的形式出现，另外幂函数的基本性质的应用一般是以选择题和填空题的形式出现，另外利用函数方程思想处理函数零点问题一般也是高考中的热点和难点.【课前热身】1.（东北三省名校2012届高三9月月考）函数的零点个数为（）2.（云南省建水一中2012届高三9月月考）在下列区间中，函数的零点所在的区间是（）3.（甘肃省2011-2012学年度高三9月月考）若方程有三个相异实根，则实数的取值范围是（）4.（天津市2012届高三4月月考）函数的一个零点是，那么函数的零点是（），，5.（云南省宣威市一中2012届高三3月月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点，第二次应计算，以上横线上应填的内容是（），，，，6.（辽宁省抚顺高中2012届高三第一次月考）幂函数的图象过点，则它的单调增区间是（）7.（安徽省2010届高三8月月考）幂函数为偶函数，且，则实数.8.（云南省宣威市一中2012届高三9月月考）若且，函数与的图象有两个交点，则的取值范围是.【答案】1.2.3.4.5.6.7.8. 【知识点梳理】第一部分：幂函数1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2.幂函数的图象与性质在同一平面直角坐标系中作出函数，，，，的图象从图象观察幂函数的性质如下：图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增增减增增减减（2）规律总结所有幂函数在上都有定义①当时，图象都过点和，且在第一象限为增函数；②当时，曲线上凸，当时，曲线下凹； ③当时，幂函数图象过点，且在第一象限内为减函数；④当时，图象为过点和的直线；⑤当时，表示过点且平行于轴的直线（除去点）.第二部分：函数的零点1.函数零点的定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点.2.等价关系：函数的零点、方程的实数解以及函数图象与轴的公共点有如下的等价关系：函数有零点方程有实数根函数的图象与轴有公共点.3.函数零点存在定理：（1）若函数在闭区间上的图象是连续曲线，并且在闭区间的端点的函数值符号相反，即，则在上至少有一个零点，即方程在上至少有一个实数解；（2）函数在区间上具有单调性，图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有唯一零点，即存在唯一，使得，这个也就是方程的根.4.函数零点的求法：①图象法；②定理法；③代数法.第三部分：用二分法求方程的近似解1.定义：对于区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间，使，给定精确度；（2）求区间的中点，并计算的值；（3）计算的值若，则就是函数的零点；若，则零点；若，则零点.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）~（4）.【典型例题与变式】题型一：幂函数的概念与基本性质【例1】（安徽省淮南二中2012届高三第一次月考）当时，幂函数为减函数，则实数（）或【解析】函数是幂函数，则即， 解得或，当时，幂函数为，此函数是常值函数，没有单调性；当时，幂函数为，在区间是减函数.【练习】（河北省三河一中2011-2012学年高三上学期第一次月考）幂函数在上为增函数，则___________.【解析】函数为幂函数，则，即，解得或，当时，幂函数为，该函数在区间是减函数；当时，幂函数为，该函数在区间上是增函数.【例2】个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（）只有①②只有②③只有②④只有④⑤【解析】函数的定义域为，函数的定义域为，函数中的自变量满足，解得，故该函数的定义域为，函数的定义域为，函数中的自变量满足，故函数的定义域为.【练习】（2007年高考山东卷理）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（），，，，，【解析】当时，在处无定义，故排除、；当时，的定义域为，又排除，故选.【例3】下面个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（）【解析】定义域为，排除、，又函数为偶函数，排除，故选. 【练习】如图1所示，、、为幂函数在第一象限的图象，则解析式中的指数依次可以取（），，，，,，，，【解析】的图象在第一象限内单调递减，则曲线对应的幂函数为，的图象在第一象限内单调递增且呈现下凹状，则对应的幂函数为，的图象在第一象限内图象呈上凸状，则曲线对应的幂函数为.【点评】成为幂函数的充分条件是系数为，此外对于幂函数的基本性质（如定义域、单调性、奇偶性、图象形状）的处理一般是根据幂函数指数的结构进行辨别，尤其在判断幂函数的定义域与奇偶性时，一般是将分数指数幂化为根式，负分数指数幂化为相应正分数指数幂的倒数，从而根据相关定义进行判断.【例4】（吉林省汪清县第六中学2012届高三第一次月考）三个数，，之间的大小关系是（）【解析】，，即，，函数和在区间上均为增函数，故，，即.【练习】（甘肃省靖远一中与中恒学校2012届高三联考）设，，，则（）【解析】，，，且函数与在区间上均为增函数，则，，则，故选.【例5】（云南省2012届高三9月月考）设，，，则、、之间的大小关系是（） 【解析】，函数在上是单调递减函数，，即，函数在上是单调递增函数，，即，，故选.【练习】（2010年高考安徽卷文）设，，，则、、的大小关系是（）【解析】函数在区间上是增函数，所以，函数在区间上是减函数，所以.【点评】比较大小的常用方法是利用函数单调性，常用的有指数函数、对数函数以及幂函数的单调性，在判别指数式结构的大小时，一般是利用指数函数或相应幂函数的单调性进行比较，当结构不相同时，有时需要结构中间值与建立大小关系进而确定各数的大小关系.题型二：函数的零点【例6】（2012年广东省湛江市普通高考测试二）方程的一个根所在的区间是【解析】设函数，则，，，，，，故方程的一个根所在的区间是，故选.【练习】（吉林省吉林市普通中学2011-2012学年度高中摸底考试）函数的零点所在区间为（）【解析】函数在上是增函数，且，当时，，又，，，，函数的零点所在的区间为，故选.【例7】（2010年高考福建卷文）函数的零点个数为（） 【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选.【练习】（安徽省淮南二中2012届高三第一次模拟考试）设函数，若，，则关于的方程的解的个数是（）【解析】当时，，，，，，当时，，又，，故当时，，令，、即，或，当时，，故关于的方程的解的个数是.【例8】（2008年高考湖北卷文）方程的实数解的个数是.【解析】如图2所示，在同一坐标系中分别作出及的函数图象，由图象知有两个交点，这两个交点处，即方程有两个实数解.【练习】（安徽省示范高中2012届高三第二次大联考）函数在定义域内的零点个数是（）【解析】如图3所示，在同一坐标系中分别作出与的图象，由图象知这两个函数的图象有个交点，故这个函数有个零点.【例9】（吉林省2011-2012学年高三年级第二次模拟考试）有三个零点，则实数所构成的集合为.【解析】如图4所示，在同一坐标系中分别作出函数和的图象，有图象知，当时，这两个函数的图象有三个交点. 【练习】（北京市东直门中学2012届高三专题训练）若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是.【解析】如图5所示，在同一坐标系中画出函数与函数的图象，由图象知，当时，两个函数的图象有四个交点.【点评】判断函数零点存在的区间，一般是利用零点存在定理即可，当然有些时候可以结合函数的单调性，若函数为单调函数，则该函数的零点至多只有一个，实质上，有时函数的零点可以通过代数方法求解，对于常规不能用代数方法解决的零点个数题，一般是将问题转化为两个函数图象的公共点的个数等价处理.【例10】若方程在区间内恰有一解，则的取值范围是（）【解析】令，当时，的零点为，当时，若，则，此时函数的零点为，当时，即时，则，解得.【练习】已知函数的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是（）【解析】令时，有得，符合题设，排除、；令，有，即的根为，符合题设，排除.【例11】已知方程的两根均为正数，则实数的取值范围是.【解析】令，函数的两个零点均为正数，则，解得.【练习】已知方程的一根比大，一根比小，则实数的取值范围是.【解析】令，则，则.【点评】二次函数零点分布问题一般考虑二次函数首项系数的正负决定二次函数图象的开口方向，一般考虑、对称轴、端点值的正负，可以利用二次函数的图象列不等式组进行求解，有时亦可利用韦达定理等价转化，但同时注意零点存在定理的应用.题型三：二分法求函数零点的近似值【例12】（湖南省2012届高三第一次月考）在用二分法求方程 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（）【解析】，，，，故函数零点所在的区间是.【练习】（河北省南宫中学2011-2012学年第一学期9月月考）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的根落在区间（）不能确定【解析】，，，则，故方程的根落在区间内.【点评】利用二分法求函数零点的近似值主要是熟悉二分法求函数零点近似值的相关步骤即可.题型四：综合应用【例13】（广东省广州市2012届高三下学期一模交流调研）设函数.（1）当时，求的最大值；（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值.【解析】（1）时，，，解得或（舍去），当时，，单调增加，当时，，单调减少，所以的最大值为；（2），，由恒成立得恒成立，因为，等号当且仅当时成立，所以；（3）时，方程即，设，解，得（舍去）， 类似（1）的讨论知，在单调增加，在单调减少，最大值为，因为有唯一实数解，有唯一零点，所以，[来源:Z.Com]由得，因为单调递增，且，所以，从而；【练习】（山东省日照市2011-2012学年度高三上学期模块考试）已知函数.（1）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）若的极值点，求在上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.【解析】（1），，在上是增函数，在上恒有，即在上恒成立，即即可，而当，，；（2）依题意，，即，，，令，得，，则当在上变化时，与变化情况如下表：减增在区间上的最大值是；（3）函数的图象与函数的图象恰有个交点，即方程恰有个不等实根，，是其中一个根，方程有两个非零不等实根，，且，存在满足条件的值，的取值范围是.【方法技巧总结】 本专题主要涉及幂函数的基本性质与图象、函数零点存在定理、函数图象在函数零点个数问题中的应用，所以应熟悉相关基本初等函数的图象，并利用数形结合的思想解决有关超越方程根的个数问题以及函数的零点个数问题.【巩固练习】1.（2012年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一）已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为（）或或【解析】函数为幂函数，，即，解得或，当时，函数为，此函数在区间上是减函数；当时，函数解析式为，在区间上为增函数.2.（宁夏2012届高三第五次月考）下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是（）①；②；③；④①；②；③；④①；②；③；④①；②；③；④【解析】在图①中对应的幂函数为奇函数，排除，且对应图象在第一象限内的图象呈下凹状，排除、，故选.3.（安徽省示范高中2012届高三第二次大联考）实数，，的大小关系正确的是（）【解析】，，，故最小，又函数和在上都是增函数，，，故，故选.4.（广东省广州市2012届高三调研测试）设,,，则（） 【解析】，，，故最小，排除、、，故选.5.（北京师大附中2012届高三开学测试）设，，，则、、的大小关系是（）【解析】函数在区间上是增函数，，又，，同理，，故最大，且，即，，.6.（吉林省白山二中2012届高三上学期第二次月考）设，，，则、、大小关系正确的是      （  ）【解析】函数在上是减函数，，即，又函数在上是增函数，，即，则.7.（2010年高考天津卷文）函数的零点所在的一个区间是（）【解析】因为，，所以零点在区间上，选.8.（福建省泉州市2012届高三3月质量检查）函数的零点所在的区间是（）【解析】，，故函数的零点所在的区间是.9.（北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）【解析】在区间内单调递增，而函数的一个零点在区间内，则，则，解得.10.若函数的零点个数为，则实数的取值范围是.【解析】如图，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，由图象知，当时，两个函数的图象有四个交点，故实数的取值范围是. 11.（吉林省汪清县第六中学2012届高三第一次月考）已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为.【解析】设函数的解析式为，则，则，故函数的解析式为.12.（河北省南宫中学2011-2012学年第一学期9月月考）若幂函数的图象经过点，则的值是_________.【解析】设幂函数的解析式为，则，，则，，.13.（安徽省淮南三中2012届高三下学期第一次月考）已知图象连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到）的近似值，那么将区间等分的次数至多是.【解析】设应该将区间等分的次数为，则，，，，.14.（北京市朝阳区2012届高三3月第一次综合练习）已知函数，则的值为；函数恰有两个零点，则实数的取值范围是.【解析】，，，如图7所示，在平面直角坐标系中画出函数的图象，由图象知，当时，函数与的图象有两个公共点，故函数恰有两个零点时，实数的取值范围是. 15.（广东省佛山市2012届高三教学质量检测二）若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是.【解析】如图8所示，在同一直角坐标系中画出函数与的图象，函数的顶点坐标为，由图象知，当，即当时，函数与的图象有两个交点.16.（江西省临川二中2012届高三第一次月考）已知函数在区间恰有一个极值点，则实数的取值范围是.【解析】，则函数在区间内恰有一个异号零点，则，则，即，解得.、17.（山东省泗水县2012届高三上学期模块考试）设函数的极小值为，其导函数的图象是开口向下且经过点，.（1）求的解析式；（2）方程有唯一实数解，求的取值范围；（3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），且的图象过点，，，，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，在区间上单调递减，，又因为，即，解得，；（2），又因为，，由图象知或，即或； （3）要使对都有成立，只需，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，故，，故所求的实数的取值范围为.【高考链接】1.（2011年高考新课标卷文，10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）【解析】，，故，函数的零点所在的区间为.2.（2011年高考陕西卷文，4）函数的图像是（）【解析】幂函数是奇函数，图象关于原点成中心对称，图象在第一象限内呈上凸状，排除、，当时，，排除，故选.3.（2011年高考陕西卷文，6）方程在内（）没有根有且仅有一个根有且仅有两个根有无穷多个根【解析】如图10所示，构造两个函数和，在同一坐标系中画出它们的图象，观察知图象有两个公共点，所以方程有且只有两个根. 4.（2011年高考北京卷文，13）已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是.【解析】单调递减且值域为，单调递增且值域为，如图11所示，有两个不相等的实根，即函数的图象与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是.5.（2011年高考辽宁卷文，16）已知函数有零点，则的取值范围是.【解析】，，令，得，当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数，故，若函数有零点，则，即，.6.（2011年高考山东卷文，16）已知函数（且），当时，函数的零点，，则.【解析】方程（且）的根为，即函数的图象与函数的交点横坐标为，且，，结合图象，因为当时，，此时对应直线上 的点的横坐标；当时,，对数函数的图象上点的横坐标，直线的图象上点的横坐标，故所求的.