幂函数题型及解析

幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是________y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x．解：由幂函数的定义知，y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1），七个函数中是幂函数的是y=x2和y=x，（2）①y=x2+1；②y=2x；③y=；④y=（x﹣1）2；⑤y=x5；⑥y=xx+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．解：根据幂函数y=xα，α∈R的定义知，①y=x2+1不是幂函数，②y=2x不是幂函数，③y==x﹣2是幂函数，④y=（x﹣1）2不是幂函数，⑤y=x5是幂函数，⑥y=xx+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2.已知幂函数y=f（x）的图象过点（9，）.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（25）的值；（3）若f（a）=b（a，b＞0），则a用b可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f（25）的值；（3）根据函数的解析式求出a与b的关系．解：（1）设幂函数f（x）=xt，∵图象过点（9，），∴；即32t=3﹣1，∴，∴；（2）∵f（x）=，∴f（25）=25-0.5===；（3）∵f（a）=a-0.5=b，∴a-0.5＝b，∴a﹣1=b2，∴a=．3.比较下列各组中两个值的大小（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3），；（4）（）﹣0.24与；（5）3.10.5，3.12.3；（6）（）﹣1.5，（）﹣1.8；（7）0.62，0.63；（8）（）﹣0.3，（）﹣0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（1）∵幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴＜；（2）∵幂函数y=x1.5在（0，+∞）单调递增，∴0.71.5＞0.61.5；（3））∵幂函数y=在（﹣∞，0）单调递增，∴＞；（4）∵0＜＜1，﹣0.24，∴（）0.24＜；（5）3.10.5＜3.12.3；（6）（）﹣1.5＞（）﹣1.8；（7）0.62＞0.63；（8）（）﹣0.3＜（）﹣0.244.若函数y=（m2+2m﹣2）xm为幂函数且在第一象限为增函数，求m的值②已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3，当x∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m的值即可解：①∵函数y=（m2+2m﹣2）xm为幂函数且在第一象限为增函数，∴m2+2m-2=1且m＞0；解得m=1-4- ②解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时y为减函数，∴当m=2时，m2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上幂函数y=x-35.幂函数y=（m2﹣3m+3）xm是偶函数，求m的值分析：根据幂函数的定义先求出m的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件．当m=2时，y=x2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y==，∴x≠0，且y＞0；∴函数y的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y＞0}7.求函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可．解：令f（x）=﹣x2﹣3x+4=﹣（x2+3x+）+=﹣+，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴ymin==，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域是R、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8.已知幂函数y=（m∈Z）的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象分析：由题意得4-3m-m2＞0解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴对称，所以4﹣3m﹣m2必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．解：由题意得4﹣3m﹣m2＞0，即有（m+4）（m﹣1）＜0，解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴对称，所以4﹣3m﹣m2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x4，m=﹣2，y=x6，m=﹣1，y=x6，m=0，y=x4其图象如图：9.已知函数y=（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n2﹣2n﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n2﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象．解：已知函数y=（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幂指数n2﹣2n﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n2﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n2﹣2n﹣3=0，满足条件故函数为y=x﹣4，或y=x0，它的图象如图所示：-4- 10.已知幂函数y=xm﹣2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．分析：由题意利用幂函数的性质可得m∈N，m﹣2≤0，且m﹣2为偶数，由此求得m的值．解：∵幂函数y=xm﹣2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，∴①m﹣2＜0，m﹣2为偶数，故m=0，即幂函数y=x﹣2，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x0，（x≠0），它的图象如图所示11.已知幂函数的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数（m∈Z），由m2﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m2﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m2﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，312.已知幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．解：幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3且m2﹣2m﹣3为奇数，∴m=0或2，∴y=x﹣3，其图象为：13.若实数m满足不等式0.642m+3＜1.253m，求实数m的取值范围分析：不等式0.642m+3＜1.253m，即为（）﹣（4m+6）＜（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．解：不等式0.642m+3＜1.253m，即为0.82（2m+3）＜（）3m，即有（）﹣（4m+6）＜（）3m，由于y=（）x在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）14.已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性-4- （2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：-4-