函数之瑰——幂函数

《幂函数》※教案简介1.课题：幂函数2.课时：1课时3.教材版本及章节：人教B版普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第三章第三节4.教学模式：345合作探究教学模式※教材分析与教法选择学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面感觉无从下手，造成了学生能“听明白”但“记不住”“不会用”的困局。为了使学生能在短时间内高效率高质量的完成该节的学习，建议遵循变“接受学习”为“发现学习”的教育理念，注重对学生观察、实验、猜想、归纳、总结、运用、交流多种能力的培养，注重信息技术与数学课程的整合，利用教师制作的多媒体课件，走“具体-----抽象-----具体”的学习路线，渗透类比和数形结合的思想方法。※教学目标1.知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念；会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；2.过程与方法：在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想3.情感态度和价值观：通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。※教学重点从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并做简单应用。※教学难点引导学生概括出幂函数的性质。课内探究课后提升收集问题，把握学情自主学习，温故知新作业反馈，训练巩固课前延伸自主选择，深化提高实例引入，探究概念问题导引，深化概念自主探究，形成性质师生合作，提炼口诀知识运用，评价总结※设计思路※教学环节 课前预习（为课内探究学习做好充分的知识准备，并节约了课上作图时间）1.利用描点发在同一坐标系内作出下述函数的图象。尝试说出这些函数的共同特征2.通过百度去网上搜索相关内容http://zhidao.baidu.com/question/195456925.html对比自己画出的图像尝试总结这些图像性质规律课内探究（在课前预习的基础上，纠正错点、探究疑点难点、强化重点）【实例引入，探究概念】师：前面我们学习了指数函数、对数函数，它们分别是形如什么形式的函数？学生共同回答。师：在日常生活中我们还会遇到这样一些函数：（幻灯片演示以下内容）写出下列y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1km,骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s学生口答，教师板书答案。师：这些函数解析式有什么共同特征？是否为指数函数呢？学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳。学生回答：（底为变量，指数为常数）。教师投影演示定义。师：根据这些函数的共同特征可见它们不是指数函数。像这类函数我们叫它幂函数。那么谁能够说出幂函数的概念？生（齐声的）：形如的函数叫做幂函数【问题导引，深化概念】师：好！（把幂函数定义呈现在屏幕上）这里要注意这个条件，也就是说a既可以取正数也可以……生（齐声的）：取负数和0师：对，那么我们就来判断一下下面哪些函数是幂函数吧！（幻灯片演示题目）判别下列函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2③y=x④y=x2+x⑤y=-x3⑥y=x0 学生独立思考，回答。对①和⑤有些学生有争议，有的认为是有的认为不是，教师可帮助学生鉴别：师：对于①我们可以写成Y等于X的多少次幂的形式？生：师：那么它是不是幂函数呢？生（十分肯定的）：是！师：那么⑤呢？生甲：是！（教师笑而不语）生乙：不是！（又有几个人说不是，教师仍笑而不语）大多数学生已十分肯定，说：不是！因为它比定义中多了一个负号！师（赞许的目光）：你们说得很对！可见平时学习得多注意观察和比较啊。接下来，有了幂函数的概念之后，同学们想一想，我们又会研究什么呢？生：幂函数的性质。（不直接告诉学生下一步的学习方向，而是由学生凭借学习经验得出，借此训练学生的类比学习和主动研究问题的意识）【自主探究，形成性质】师：对于幂函数的性质我们可能会通过什么方法研究呢？生：图象法。问：那么我们可能会研究幂函数那些方面的性质呢？生：定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性。师：你们是怎么知道的呢？生：通过对指数函数和对数函数的学习得到的。（再次向学生渗透类比思想在学习中的重要性）师：这就是为什么我们课前要求画以下有关函数图像的原因在同一坐标系内作出下述函数的图象。将学生作图用实物投影仪演示，让其他同学指出优点和错误之处。同时强调图象在研究函数过程中的重要作用，最后教师通过超级链接几何画板演示图像。 师：下面我们根据图像来逐条分析幂函数性质,看哪位同学分析得最全面、最准确、最精炼。教师将需要分析的五个方面列在黑板上，结合图形学生小组讨论。再找同学起来回答。生A：都过定点（1，1）。在第一象限内，当幂指数为正时函数单调递增，当幂指数为负时函数单调递减。生B：指数为偶数时图像在一、二象限，函数为偶函数，指数为奇数时图像在一、三象限，函数为奇函数。生C：定义域为全体实数，值域不确定，当幂指数为偶数时值域为，当幂指数为奇数时值域为。师：下面我们一起讨论一下这三位同学的说法是否正确。生D：第一个同学所说的是正确的，第三个同学说的不太正确。他漏掉了形如这种幂函数的情况。师：很好！还有需要补充的吗？生E:：第二个同学说的情况也不全，比如说的幂指数就既不是奇数也不是偶数。师：这个同学说得也很对，但是这样看来幂函数的共性很少，叙述起来岂不是太麻烦了？我们教材中是这样叙述的：（把教材中的性质内容呈现在屏幕上），生：可是这样也很难记忆，并且这也仅仅说明了第一象限的情况啊！师：说的是啊！那我们应该怎样去叙述幂函数的性质才能既全面又便于掌握呢？（结合图形学生小组讨论同时教师适当加以引导）：【师生合作，提炼口诀】师：同学们请看所有的幂函数是否都可以写成的形式？ 生：是。师：那么你们看我们上面提到的所有性质实质上仅仅与中的哪些量有关呢？生：与m、n有关。师：所以说我们只需要把上面我们总结出的性质用m、n的变化来叙述是不是就可以了？（学生点头）师（进一步）：你知道m、n的变化包括哪些方面吗？生：大小、正负、奇偶师：嗯，很好，那么指数的大小正负和奇偶有分别影响了幂函数的那些性质呢？继续让学生结合图象观察m、n如何影响函数的性质的。学生信心十足地展开讨论，总结。教师引导。教师利用幻灯片展示口诀：一看符号识类别，二看大小分上下，三看分母成纳图，四看分子知对称。教师再次通过超级链接几何画板演示图像，同时对口决进行解释：根据幂指数的正负判断函数在第一象限内的增减性，为正时增，为负时减。根据幂指数的大小判断函数图象的位置，在的右侧幂指数越大图像越往上。（教师通过超级链接几何画板演示图象在第一象限内的变化规律，）拖我根据幂指数中分母m的奇偶得出函数除第一象限外，在其它象限内是否还有图象，m为偶数时函数仅在第一象限有图像，m为奇数时函数在其它象限还有图像。至于另一部分图像在哪一象限内，要由分子的奇偶来决定，分子为奇数时另一部分图像在第三象限，函数是奇函数，为偶数时另一部分图像在第二象限，函数是偶函数。生(高兴的):哇！这么简单的四句话就可以概括幂函数的性质呀！太好记了！师：那我们就来试验一下我们自己的劳动成果吧！（幻灯片演示题目） 【知识运用，评价总结】1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：学生思考，作答，幻灯片演示解答过程，教师强调叙述时语言的逻辑性。2、写出函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：学生独立思考并回答。利用幻灯片显示正确答案C1C2C3C43、如图为幂函数在第一象限内的图象，已知取则相对于曲线的依次为()生：选（C）。根据：“二看大小分上下”4、已知幂函数图象如图所示，则（）均为奇数，且为奇数，为偶数，且为奇数，为偶数，且生：选（D）.根据：一看符号识类别，由函数在第一象限是减函数我知道，三看分母成右图，根据函数图像不仅仅在第一象限我知道是奇数，四看分子知对称。它的另一部分图像在第二象限整个图像关于y轴对称所以是偶数。 师：可见我们的劳动没有白费，有了这四句话很多问题解起来就有事半功倍的效果了。同学们摩拳擦掌：再试几道题！师：可是时间有限，我们这节课只能上到这里了，有兴趣的同学可以登录网站http://www.diyidayi.com/study/list.aspx?classid=1028&grade=%e5%bf%85%e4%bf%ae%e4%b8%80&km=%e6%95%b0%e5%ad%a6进一步练习，下面我们来一起回想一下这节课我们学到了哪些知识？你有哪些收获和经验？生：幂函数的概念和性质，其中除去图像过定点外，其余的性质全部可以用四句话概括：一看符号识类别，二看大小分上下，三看分母成纳图，四看分子知对称。师：很对，这样一来它的定义域、值域、单调性、奇偶性全在里面了。那么你们还有什么收获呢？生：图像法是研究函数的一种重要方法。生：类比也是一种重要方法。生：学习时不要墨守陈规，要多注意观察和总结。师：很好！感觉对这节课意犹未尽的同学可以做一下课后拓展探究：利用百度搜索http://www.skycn.com/soft/53477.html下载几何画板绘制幂函数图像，研究其随指数变化的变化规律。希望你们以后每一节课都要注意思考和总结，祝你们每一节课都会有这么多的收获！再见！生：老师再见！课后提升【作业反馈，训练巩固】http://www.diyidayi.com/study/list.aspx?classid=1028&grade=%e5%bf%85%e4%bf%ae%e4%b8%80&km=%e6%95%b0%e5%ad%a6【自主选择，深化提高】（选作）http://www.skycn.com/soft/53477.html下载几何画板绘制幂函数图像，研究其随指数变化的变化规律。 ※教学反思该节课成功之处（1）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。（2）充分体现了“以学生发展为本”的新课程理念，在知识的探究过程中给学生留出了充足的思维空间，注重了学生的观察分析归纳总结能力的培养和数学思想方法的教学。（3）针对本节幂函数性质难总结、难记忆的特点编写了口诀。（4）相关课件采用PowerPoint演示文稿，其中部分使用超级链接至几何画板进行演示。（5）本节课教师充分调动了学生的思维积极性，充分发挥学生的主体地位，使他们不仅学到了知识而且学到了获取知识的方法，注重对学生各种学习能力的培养。（6）重视学生之间的差异性，课后拓展体现分层次布置作业我认为该节课不成功之处在于：课例的第一个图画出的函数图象的表达式应尽量与题干中的表达形式一致，如应是。