中小学个性化教育专家佳绩教育学员个性化辅导教案辅导科目：数学授课教师：高景峰年级：高二上课时间：2012.7.1619:00—21:30教材版本：人教版总课时：46已上课时：10学生签名：课题名称幂函数教学目标幂函数图像重点、难点、考点幂函数的图像、利用幂函数图象比较大小教学步骤及内容幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊幂函数：一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.1.幂函数的图像：2.幂函数y=xα的性质. (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图 象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过 点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.注意：（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.10
中小学个性化教育专家特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.案例分析：（复习)例1、求的值域。例2、判断下列函数哪些是幂函数.①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.变式训练判别下列函数中有几个幂函数？①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.例3、求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例4、证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.10
中小学个性化教育专家例5、函数y＝（x2-2x）的定义域是()A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2）变式训练1、函数y＝（1-x2）的值域是()A.［0,＋∞)B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］例6、比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.征战沙场：例1比较下列两个代数式值的大小：分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.2．的大小关系是________.答案a>b>c知能训练1.下列函数中,是幂函数的是()10
中小学个性化教育专家A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x1.下列结论正确的是()A.幂函数的图象一定过原点B.当α0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数2.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是()A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x3.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.4.函数y＝（x2－2x）的定义域是（ ）A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）［2，＋∞）D．（0，2）5.函数y＝的单调递减区间为（ ）A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞ ］ D．（－∞，＋∞）6.如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（ ）A．n01.下列命题中正确的是（ ）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数2.下列命题正确的是（ ）A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数B．图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数C．如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同D．如果一个幂函数的幂指数为奇数，那么一定是奇函数3.函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．4.幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是．5.设x∈(0,1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．10
中小学个性化教育专家1.函数y＝在区间上是减函数．10．试比较的大小．11．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。12．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3,),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；课后练习1．（2007北京文、理，5分）函数的反函数的定义域为（）A．B．C．D．2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．B．C．D．[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。10
中小学个性化教育专家3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．lnD．ln2[考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值（0，1等一些特殊值）结合对数函数的特殊值来加以判断。4．（2007安徽理，5分）若A=，B=，则的元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个[考点透析]从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。5．（2007江苏，5分）设是奇函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．[考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件。6．（2007北京理，5分）对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A．①③B．①②C．③D．②D；[解析]函数①，函数=是偶函数；且在上是减函数，在上是增函数；但对命题丙：=在x∈(－∞,0)时，为减函数，排除函数①，对于函数③，函数不是偶函数，排除函数③，只有函数②符合要求。[考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。8．（2007天津理，5分）设均为正数，且则（）A.B.C.D.[考点透析]根据10
中小学个性化教育专家指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。9．（2007广东理，5分）已知函数的定义域为M，的定义域为N，则MN（）A．B．C．D．[考点透析]本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难．10．（2007山东理，5分）设a{－1，1，，3}，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3B．－1，1C．－1，3D．－1，1，3A；[解析]观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。[考点透析]根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质．11．（2007江苏，5分）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线=1对称，且当时，=，则有（）A．B．C．D．[考点透析]利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系．12．（2007湖南文、理，5分）函数的图象和函数的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．1根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。[考点透析]作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。13．（2007四川文、理，5分）函数=与=在同一直角坐标系下的图象大致是（）[考点透析]根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。10
中小学个性化教育专家14．（2007全国Ⅰ文、理，5分）设，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，则=（）A．B．2C．2D．4[考点透析]根据对数函数的单调性，函数=在区间的端点上取得最值，由知函数在对应的区间上为增函数。15．（2008山东临沂模拟理，5分）若，且，则与之间的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定A；[解析]通过整体性思想，设，我们知道当时，函数与函数在区间上都是减函数，那么函数在区间上也是减函数，那么问题就转化为，由于函数在区间上也是减函数，那么就有。[考点透析]这个不等式两边都由底数为的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手。通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的。16．（2008海南三亚模拟理，5分）函数的图象大致是（）[考点透析]把相应的含有指数函数和对数函数的关系式，加以巧妙转化，转化成相应的分段函数，结合分段函数的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断。17．（2007全国1文、理，5分）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则____________。[考点透析]对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视。18．（2007上海理，5分）函数的定义域为_________。[考点透析]考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题。10
中小学个性化教育专家19．（2007江西理，5分）设函数，则其反函数的定义域为_________。[考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题。20．（2007上海理，5分）方程的解是_________。[考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件。21．（2007四川理，5分）若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．[考点透析]根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值。研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。22．（2008江苏苏州模拟，5分）已知函数（且）的图象如图，则函数的图象可能是________。D；[解析]根据函数的图象可知，那么对应函数的图象是D。[考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。23．（2008江苏南通模拟，5分）设（且），若（，），则的值等于________。[考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化。10
中小学个性化教育专家24．（2008江苏常州模拟，5分）将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为________。课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题配合需求：家长：学习管理师：知识漏点及后期计划：学习管理师：学科组长审核：教学主任审核：10
微信/支付宝扫码支付