2.3幂函数
一二一、幂函数的定义1.函数y=2x与y=x2有什么不同?提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.3.填空:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
一二4.做一做:在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为.解析:函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.答案:1
一二二、幂函数的图象及性质
一二(1)它们的图象都过同一定点吗?提示:是的,都过定点(1,1).(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y=.在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
一二2.填表:幂函数的性质
一二3.判断正误:(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).()答案:(1)×(2)×
一二4.做一做:A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
一二答案:(1)C(2)C
探究一探究二探究三探究四思想方法探究一幂函数的概念例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.当堂检测
探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.当堂检测
探究一探究二探究三探究四思想方法探究二幂函数的图象例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.c
微信/支付宝扫码支付