指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数塞的运算【学习目标】1.理解有理指数哥的含义，掌握哥的运算.2.理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点.3.理解对数的概念及其运算性质.4.重点理解指数函数、对数函数、哥函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5.会求以指数函数、对数函数、塞函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质^6.知道指数函数，三口，与对数函数1y=10gllx互为反函数(a>。，awi).【要点梳理】要点一、塞的概念及运算性质1.整数指数哥的概念及运算性质金口二1(也H口)尸=±(曰丁0”即Of2.分数指数哥的概念及运算性质.、,，.*m.、为避免讨论，我们约定a>0,n,mN,且m为既约分数，分数指数哥可如下定义:ianmanm—-annan（na）mn”1man3.运算法则当a>0,b>0时有:mnmn(1)aaa；mnmn(2)aa；m(3)amn(4)—amn,a0;amm,m(5)abab.要点诠释：(1)根式问题常利用指数哥的意义与运算性质，将根式转化为分数指数哥运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如4(4)2(44)2;21(3)哥指数不能随便约分.如(4)4(4)；.要点二、根式的概念和运算法则1.n次方根的定义：若xn=y(nCN*,n>1,y€R),则x称为y的n次方根，即x=ny.n为奇数时，y的奇次方根有一个，是负数，记为Vy；零的奇次方根为零，记为n/c0;n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为西；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为由00.2.两个等式*n(1)当n1且nN时，vaa； (2)n.ana,（n为奇数）|a|（n为偶数）要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误.②指数哥的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数哥化为正指数哥的倒数久.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数（如3之），先要化成假分数（如15/4）,然后要尽可能用哥的形式表示，便于用指数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=（a—b）（a+b）,a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）,a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）,（a土b）2=a2±2ab+b2,（a土b）3=a3±3a2b+3ab2土b3,的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax（a>0且awi）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：1（1）形式上的严格性：只有形如y=ax（a>0且aw1）的函数才是指数函数.像y23x,y2及，y3x1等函数都不是指数函数.（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：11①如果a0,则对于一些函数，比如y（4）x,当x-,x-,时，在实数范围内函数值不存在.24②如果a1,则y1x1是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义.xV1....（2）指数函数yax与y1的图象关于y轴对称。a要点三、指数函数底数变化与图像分布规律①yax②ybx③ycx④ydx则：0vbva〈1vdvc观察可知，底数越接近1,图象曲线越平缓，底数越远离1,图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1）又即：xC（0,+8）时，bxaxdxcx（底大哥大）xe（—8,0）时，bxaxdxcx（底小哥小） 要点四、指数式大小比较方法一⑴单调性法：化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较^(2)中间量法：(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；AA②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断-1,或C1即可.BB对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果abNa0,且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a1,N>0,bR.2.对数logaNa0,且a1具有下列性质(1)0和负数没有对数，即N0;(2)1的对数为0,即loga10；(3)底的对数等于1,即logaa1.3.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10gl0N简记作lgN.以e(e是一个无理数，e2.7182)为底的对数叫做自然对数，logeN简记作lnN.要点二、对数的运算法则已知logaM,logaNa0且a1,M、N0(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；logaMNlogaMlogaN(2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；，M.一，一loga唠aMlogaNN(3)正数的哥的对数等于哥的底数的对数乘以哥指数；logaMlogaM要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但10g2(-3)与10g2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、哥的对数与对数的和、差、积、商、哥混淆起来，即下面的等式是专昔误的:错误1：10ga(MN)=logaM10gaN一错误2--(M,N)=logaM，logfN,要点三、对数公式1.对数恒等式：baNalogaNNlogaNb2.换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0,aw1,M>0的前提下有：⑴logaMlognMn(nR)a令10gaM=bb则有ab=M(ab)n=M,即(an)bMn,则bloganMn所以得出结论：1ogaMlognMn.a(2)logaM10gcM(c0,c1),令1ogaM=b,则有ab=M则有1ogcablogcM(c0,c1)logca即blogcalogcM,即b°gc“，即logaM10gcM(c0,c1)logcalogca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论： ..1logab(a0,a1,b0,b1).logba对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1.函数y=logax(a>0,aw1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R.2.判断一个函数是对数函数是形如ylogax(a0,且a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量X.要点诠释：(1)只有形如y=logax(a>0,aw1)的函数才叫做对数函数，像yloga(x1),y2logax,ylogax3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。(2)求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1;②对含有字母的式子要注意分类讨论。(1)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考^(2)以1为分界点，当a,N同侧时，logaN>0;当a,N异侧时，logaN0):(1)a2。；(2)a3Va2；(3)OaOa；4.计算(1)3(7)080.2542(323)6指数函数的概念5.函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值.6.求下列函数的定义域、值域^2xx13xxx'_2xJ1(a为大于1的常数)(1)y—x;(2)y=4-2+1；⑶J32x1一；(4)y13.92x22x11的单调性3指数函数的单调性及其应用7.讨论函数f(x)判断函数的奇偶性8.判断下列函数的奇偶性：=(—―十:2Y-129.请做出的图象10.将下列指数式与对数式互化：(1)1密16=4；(2)飞发二-3；(3)1%〃=3；(4方=125；(5)2」=!；利用对数恒等式化简求值刁log7511.求值：7积、商、事的对数12.用10gax,10gay,lOgaZ表示下列各式(1)1ogaxy；(2)10ga(x3y5);(3)loga—;(4)logzyz换底公式的运用13.已知10g189a,18b5,求10g3645. 对数运算法则的应用10.求值log6432log21.1.1—log3-log5]2589(2)1g1421g73lg7lg1810g2(log2323log1log436)4(4)21og21251og4251ogg5(1ogi2581og2s4logs2)对数函数的概念11.下列函数中，哪些是对数函数?(1)yloga7x(a0,a1)；⑵ylog2x2;(3)y8log2(X1);(4)ylogx6(x0,x1);(5)ylog6x.对数函数的定义域16.求下列函数的定义域：2⑴ylogaX；(2)yloga(4-x)(a0且a1).对数函数的单调性及其应用17.比较下列各组数中的两个值大小：(1)10g33.6,log38.9；(2)log0.21.9,log0.23.5；(3)10g25与10g75；(4)10g35与10g64.(5)1oga4.2,1oga4.8(a0且a1).函数的奇偶性18.判断下列函数的奇偶性.⑴f(x)ln-2—x;(2)f(x)1g(.1x2-x).2x类型五、反函数19.求出下列函数的反函数1X(1)y1og1x；(2)y--6e利用函数图象解不等式120.若不等式2xlogax0,当x0,1时恒成立，求实数a的取值范围.2对数函数性质的综合应用21.(1)已知函数y1g(x22xa)的定义域为R,求实数a的取值范围；⑵已知函数y1g(x22xa)的值域为R,求实数a的取值范围；