第三节幂函数学点：探究与梳理自主探究探究问题1：函数与有哪些不同？探究问题2：古希腊著名的数学家毕达哥拉斯在西方首次发现了“勾股定理”然而他的学生希巴斯却通过勾股定理，发现了边长为1的正方形其对角线长度不是有理数，这下他可惹祸了，因为毕氏一向认为“万物皆数”，而他所说的数，即“有理数”.毕氏无法承认自己的理论将被推翻，于是把希巴斯残忍的掷进了大海.希巴斯虽然牺牲了，但他的发现——无理数却为举世公认.你知道吗，故事中有一个数学问题：如果计算出正方形的两边的平方和为，对角线长为，则可以得到一个函数？这个函数是什么函数？本节中我们将学习它的图像和性质探究问题3：下面给出五个具体例子1.一个小朋友购买了每千克1元的水果千克，那么她需要付的钱数（元）和购买的水果量（千克）之间有何关系是.2.如果正方形的边长为,那么正方形的面积.3.如果正方体的棱长为，那么正方体体积.4.如果正方形场地的面积为,那么正方形的边长为.5.如果某人秒内骑车行进了1km,那么他的平均速度.请同学们思考：这些函数有什么共同的特征？（主要观察函数中的常数和变量的位置，右边解析式的形式）重点把握１．五个基本幂函数的图象及性质幂函数中，常数分为五种情况：，，，.函数5
定义域RRR值域RR单调性在R上递增在递减，在递增在R上递增在递增在和递减奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数图象oxyoxyyoxoxyoxy图象形状直线抛物线拐线抛物线一部分双曲线过定点２．比较大小是幂函数性质运用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与0比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各段中间两两比较.具体步骤是：①指数相同、底数不同时考虑幂函数的单调性；②底数相同、指数不同，考虑指数函数的单调性；③底数、指数都不同，要借助中间值或考虑作差（商）的比较法；④含有参数的比较大小问题，还需要对参数进行讨论.３．幂函数的单调性可利用图像或定义判断.含有参数的函数的单调性，一般需运用分类讨论的思想方法判断. 题例：解析与点拨例1 幂函数的图象过点，则的解析式是_____________解析：设∵幂函数的图像过点，∴∴.∴.变式训练1：当时，幂函数的图像恒在直线的下方，则的取值范围是（）A.B.C.D.例2 为何值时，函数为幂函数？解析：因为为幂函数，所以，解得，即当时，函数为幂函数.5
变式训练2：为何值时，函数是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数.例3 若满足，求的取值范围.解析：①当时，在上为增函数，，所以，即；②当时，在上为减函数，，所以，即；综上所述，的取值范围是.点拨：分类讨论的原则是分类应当不重不漏；一次分类只能按确定的同一标准进行.变式训练3：给出下列结论：①；②函数的值域是；③函数与的值域相同；④设有四个函数，其中随的增大而增大的函数有3个，其中正确的是（请把你认为正确的结论的序号都填上）．学业水平测试巩固基础1．下列结论正确的是（）幂函数的图像一定过原点；当时，幂函数是减函数；当时，幂函数是增函数；函数即是二次函数，又是幂函数.A.0个B.1个C.2个D.3个2．若集合，则（）A.B.C.D.3．已知幂函数，若则，则的取值范围是（）A.B.C.D.4．四个数的大小顺序是（）A.B.C.D.5．某工厂生产产值的月平均增长率为，则年平均增长率为.6．函数的单调区间为.能力提升7．函数且的图像可以是下图中的()xyoxyoxyoxyoABCD 5
8．方程的解集是（）A.B.C.D.9．函数是偶函数，且在是减函数，整数取值的集合为()A.B.C.D.10．函数与函数在区间上增长较快的是.11．已知为上的奇函数，且的值是.12．证明函数在上是增函数拓展创新13．若，求的取值范围.自主发展设二次函数，方程的两根和满足．（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小，并说明理由．5
第二章第三节参考答案：自主探究：1.①前者是指数函数，后者是幂函数也是二次函数；②定义域不同；③值域不同；④前者在上是增函数，后者在不具有单调性；⑤前者既不是奇函数也不是偶函数，后者在上是偶函数；⑥二函数的图像不同.2．函数是幂函数.３．共同特点：①指数为常数；②是以自变量为底的幂；③幂的系数为1.变式训练：1.B2.(1),（2）,（3）3.②学业水平测试：，．，．增区间，减区间,.，．，．略，．解析：∵，∴或或，解得或或.∴的取值范围是或．自主发展：（Ⅰ）令，则由题意可得：．故所求实数的取值范围是．（II），令．当时，单调递增，∴当时，，即．5
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