简单的幂函数 (2)x

第二章函数§5简单的幂函数（二） 学习目标1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点） 引入课题前面我们学习过奇函数、偶函数的概念：奇函数定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称.偶函数定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.本节课我们来研究函数的奇偶性的应用. 探究点1偶函数与单调性观察下列几个函数图象，在关于y轴对称区间上函数单调性有何特征？问题1：提示：单调性相反.xyOxyOxyO(1)yx2(2)y|x|1(3)y 探究点2奇函数与单调性再请观察下列几个函数图象，在关于y轴对称区间上函数单调性有何特征？问题2：提示：单调性相同.xyO(1)yx(2)y(3)yxyOxyO 归纳提升函数的奇偶性与单调性的联系规律总结：函数奇偶性和单调性的关系(2)偶函数在关于y轴对称区间上具有相反的单调性.(1)奇函数在关于y轴对称区间上具有相同的单调性. 典例精讲：题型一：利用奇偶性求值【例1】已知f(x)=x5+ax3+bx8,f(2)=10,则f(2)等于()A.26B.18C.10D.10[思路探索]构造函数g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,利用函数g(x)的奇偶性与已知条件f(2)=10,即可求得f(2)的值. 典例精讲：题型一：利用奇偶性求值[解析]方法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，[答案]A∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8， 典例精讲：题型一：利用奇偶性求值[解析]方法二：由已知条件，得[答案]A①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.， 典例精讲：题型二：利用函数的奇偶性求解析式【例2】已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．[思路探索]由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式. 典例精讲：题型二：利用函数的奇偶性求解析式[解析]∵函数f(x)的图象关于原点对称．综上，f(x)＝∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0， 变式训练【变式1】已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝，[思路探索]根据函数的奇偶性，构造方程组进行求解.求f(x)，g(x). 变式训练【解析】由f(x)＋g(x)＝，①把x换成x，得f(x)＋g(x)＝，∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)f(x)，g(x)＝g(x)，∴f(x)g(x)＝，②①+②得2f(x)＝，∴g(x)＝.∴f(x)＝， 题后反思规律总结：根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(3)利用函数f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x).(2)转化代入已知区间的解析式.(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内. 因为函数为偶函数，所以有f(x)=f(x)=f(|x|)，从而可借助已知区间的单调性比较大小.典例精讲：题型三：函数的奇偶性和单调性的综合应用【例3】若f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A.f(2)＞f(0)＞f(1)B.f(2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(2)D.f(0)＞f(2)＞f(1)[思路探索] 典例精讲：题型三：函数的奇偶性和单调性的综合应用[解析]f(x)是R上的偶函数，所以f(2)=f(2).【答案】B又f(x)在[0，+∞)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(2)＞f(1)＞f(0). 解决本题的关键是去掉“f”，由于f(x)在R上是偶函数，而偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是增函数，则相应对称区间上为减函数.从而将问题转化为具体不等式求解.典例精讲：题型三：函数的奇偶性和单调性的综合应用【例4】设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(∞，0)上递增，且f(2a2+a+1)＜f(2a22a+3)，求a的取值范围.[思路探索] ∵2a2+a+1=2(a)2+＞0，2a22a+3=2(a)2+＞0，且f(2a2+a+1)＜f(2a22a+3)，典例精讲：题型三：函数的奇偶性和单调性的综合应用[解析]由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，则f(x)在即3a2＞0，解得a＞.∴2a2+a+1＞2a22a+3，(0，＋∞)上递减. 变式训练【变式2】若将题中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？提示：奇函数在对称区间上单调性相同.[解析]即3a2