2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数学案新人教A版必修1

2.3 幂函数学习目标核心素养1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1．结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数1．下列函数中不是幂函数的是(  )A．y＝     B．y＝x3C．y＝3xD．y＝x－1C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]2．已知f(x)＝(m＋1)x是幂函数，则m＝(  )A．2B．1C．3D．0D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________． [由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，∴f(4)＝4＝.]幂函数的概念【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．[解] 由题意得解得所以m＝－3，n＝.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1.(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(  )A．0       B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝＝.]幂函数的图象及应用【例2】 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0，1)时，f(x)c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(  )A    B     C    D(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]幂函数性质的综合应用[探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α30.7.(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.2131.8.又∵y＝1.8x是增函数，且>，∴1.8>1.8，∴2>1.8.(4)0.9＝，＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)与；(2)与；(3)与. [解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以>.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－.(3)因为函数y1＝为R上的减函数，又>，所以>.又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以>，所以>.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(  )(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(  )(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(  )(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(  )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(  )A．y＝x－1     B．y＝xC．y＝x2D．y＝x3B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]3．函数y＝x的图象是(  )A     B     C    DC [∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]4．比较下列各组数的大小：