指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：3．运算法则当a＞0,b＞0时有：（1）；（2）；（3）；（4）.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=.n为奇数时，y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 .2．两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．②如果，则是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．要点二、指数函数的图象：y=ax00且a¹1，N>0，bÎR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，.要点二、对数的运算法则已知(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；(2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：错误1：loga(M±N)=logaM±logaN，错误2：(M·N)=logaM·logaN， 要点三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:(1)令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，则所以得出结论:.(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象0＜a＜1a＞1图象要点诠释：（1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN