新人教A版必修1 高中数学 1.2.1 函数的概念 课件
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新人教A版必修1 高中数学 1.2.1 函数的概念 课件

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时间:2022-08-10

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资料简介
1.了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.【考纲下载】第7讲幂函数 一般地,形如的函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.对于幂函数,一般只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.提示:y=x2是幂函数.y=2x不是幂函数,是指数函数.二者本质的区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.y=xα(α∈R)1.幂函数的定义 在同一平面直角坐标系下,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象分别如下图.提示:幂函数y=xα(α∈R)随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们的图象均不经过第四象限,在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定.2.幂函数的图象 3.幂函数的性质定义域值 域奇偶性单调性定 点函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}RR[0,+∞)[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶增增增x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(0,0),(1,1)(1,1) 1.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3解析:根据幂函数的定义和性质易得x=1,3时,定义域为R且为奇函数.答案:A 2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0解析:原命题正确,故其逆否命题正确,逆命题错误,故否命题错误.答案:C3.已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式是()A.f(x)=x3B.f(x)=x-3C.f(x)=D.f(x)=解析:设幂函数f(x)=xα(α∈R),则∴α==-3,∴f(x)=x-3.答案:B 4.若函数f(x)= ,则f(f(f(0)))=_____________________.解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.答案:1 有关幂值的大小比较,可结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.一般地,几种幂值的比较方法如下:①幂的底数相同,指数不同型可以利用指数函数的单调性进行比较.②幂的底数不同,指数相同型可以利用幂函数的单调性进行比较.③幂的底数不同,指数不同型常运用媒介法,即找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小,确定两个幂值的大小. (1)和  ;(2);(3)0.20.5和0.40.3.思维点拨:利用性质、中间值作转化.解:(1)= ,由于幂函数y=在(0,+∞)上是减函数,所以【例1】比较下列各组值的大小:(2)由于因此(3)由于指数函数y=0.2x在R上是减函数,所以0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y=x0.3在(0,+∞)是递增函数,所以0.20.3<0.40.3,故有0.20.5<0.40.3. 幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用.【例2】点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点    在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有f(x)>g(x),f(x)=g(x),f(x)<g(x).思维点拨:由幂函数的定义,求出f(x)与g(x)的解析式,再利用图象判断即可. 解:设f(x)=xα,则由题意得2=()α,∴α=2,即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,∴β=-2,即g(x)=,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.由图象可知:①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);②当x=±1时,f(x)=g(x);③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x). 变式2:方程=logsin1x的实根个数是()A.0B.1C.2D.3解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y1=和y2=y2=logsin1x的图象,可知只有唯一交点(如右图所示).答案:B 对幂函数性质的考查,主要是幂函数的定义域、奇偶性及单调性的考查.【例3】已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数φ(x)=a的奇偶性. 解:(1)∵幂函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴m2-2m-3<0,∴-1<m<3.又m∈Z,∴m=0,1,2,∴m2-2m-3=-3或-4.又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=x-4.(2)由(1)得φ(x)=-bx3,φ(-x)= +bx3.①当a≠0,且b≠0时,φb(x)为非奇非偶函数;②当a=0,且b≠0时,φ(x)为奇函数;③当a≠0,且b=0时,φ(x)为偶函数;④当a=0,且b=0时,φ(x)既为奇函数又为偶函数. 变式3:已知幂函数f(x)的图象过点(,3),函数g(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,g(x)=.求f(x)与g(x)的解析式.解:设f(x)=xα,∵其图象过(,3)点,故3=()α,即()3=()α,∴α=3,故f(x)=x3.令x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞).∴g(-x)=又∵g(x)是偶函数,故g(-x)=g(x),∴g(x)=(-x),x∈(-∞,0),∴g(x)=故g(x)=  (x∈R). 【方法规律】1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,如y=x+1,y=x2-2x等都不是幂函数.2.在(0,1)上,幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”),在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. 已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足  的a的取值范围.【阅卷实录】 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后,依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式组.在这里极易出现认为函数在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,则函数必在定义域内是减函数的认识误区.从而误用性质产生错误,事实上由幂函数y=的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势,故函数只能说在定义域的两个子集上分别为减函数,另外在分类讨论时,要做到不重不漏,尤其是a+1<0<3-2a这种情况容易被忽略,应引起注意.【教师点评】 解:∵函数在(0,+∞)上单调递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函数图象关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数.而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,【规范解答】 ∴m=1.而y=在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,∴(a+1)<(3-2a)等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a.解得a<-1或故a的取值范围为

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