新人教A版必修1 高中数学 2.3 幂函数 教案

星辰教育培训中心幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质（1）（2）（3）（4）（5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较：①定义对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；-6- 星辰教育培训中心过点（1，0），即当=1，=0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，、、、是增函数，在（0，+∞）上，是减函数。【例题选讲】例1．已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）或（2）（3）（4）（5）变式训练：已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：解得：小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2．比较大小：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵在上是增函数，，∴（2）∵在上是增函数，，∴（3）∵在上是减函数，，∴；∵是增函数，，∴；综上，（4）∵，，，∴-6- 星辰教育培训中心例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，  （1）求它的反函数；  （2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．  解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．  （2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．  ∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；  在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知  f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；  f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．  解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．  当t＝－1时，ymin＝3．  ∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．  点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．   Ｂ．  Ｃ．   Ｄ．答案：Ｃ2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．   Ｂ．  Ｃ．   Ｄ．答案：Ｂ-6- 星辰教育培训中心3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．   Ｂ．  Ｃ．   Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（  ） A．{x|x≠0或x≠2}  B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］ D．（0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．  答案：B5．函数y＝（1－x2）的值域是（  ）   A．［0，＋∞］   B．（0，1）C．（0，1）    D．［0，1］  解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．  ∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．  答案：D6．函数y＝的单调递减区间为（  ）  A．（－∞，1）    B．（－∞，0）C．［0，＋∞］     D．（－∞，＋∞） 解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．  答案：B7．若a＜a，则a的取值范围是（  ） A．a≥1     B．a＞0C．1＞a＞0     D．1≥a≥0 解析：运用指数函数的性质，选C． 答案：C8．函数y＝的定义域是。 解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．  答案：A9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1． 答案：m＝－1-6- 星辰教育培训中心10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．  思路：函数y＝是幂函数．  （1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．  （2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．  （3）f（－x）＝＝＝f（x），  ∴函数y＝是偶函数；  （4）∵n＝＞0，  ∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．  由于幂函数y＝是偶函数，  ∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减．  （5）其图象如下图所示．11、比较下列各组中两个数的大小：  （1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．  解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，  ∵1.5＜1.7，∴＜，  （2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．  （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，  ∵＝，＝，又＞，  ∴＞．  点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：  （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；  （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；  （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． -6- 星辰教育培训中心12．已知函数y＝．  （1）求函数的定义域、值域；  （2）判断函数的奇偶性；  （3）求函数的单调区间．  解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，  （1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，  ∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．  （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．  （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，  ∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．  又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，  ∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．  答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；  （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；  （3）（1，3］． 规律总结  1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；  2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．  -6-