幂函数、函数的图象

第四节幂函数、函数的图象 1.了解幂函数的概念.2.掌握函数：y=x,y=x2,y=x3,的图象特征，了解它们的变化情况.3.会用基本函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.4.会用数形结合的思想与化归转化的思想解决数学问题. 1.考纲对幂函数要求不高，只需了解幂函数的性质，掌握常见的几种幂函数图象即可.2.对基本函数的图象，考纲要求以图象为载体研究其单调性、奇偶性，能结合图象比较函数值的大小，利用图象解一些简单的方程、不等式. 3.从能力上，要求学生具备基本的作图、识图能力和图象的简单应用能力.4.从题型上看，主要以选择、填空的形式考查，一般为低中档难度题.综合应用的题目有时难度会稍大一些. 函数图象的判断高考指数:★★★★1.(2012·山东高考)函数y的图象大致为() 【解析】选D.函数f(x)，f(-x)==-f(x)为奇函数，当x→0，且x>0时f(x)→+∞；当x→0，且x10时，|lgx|>1.因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个. 【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)函数图象的对称性，周期性，奇偶性，单调性.(2)函数图象的变换(平移、伸缩、对称、翻转).题型有：①由函数图象求交点、交点个数，求解析式，求参数值，求最值等.②图象变换(求变换前后函数关系式、变换方法、变换过程).③利用图象性质解决综合性问题.考查形式一般为选择题、填空题.难度为中档或中档偏上. 备考策略：1.解决图象问题，关键是要学会观察分析图象的关键点、关键值和主要性质.总结由图象特征提取信息，分析信息的规律方法.并通过练习应用，验证、补充，使之不断完善.2.对图象的变换原则，要进行针对性训练，熟练掌握基本函数的常见的变换方法.图象是数形结合思想应用的主体，对“数”与“形”结合的关键点和转化技巧要加强训练，高度重视. 函数中的新定义问题【典例3】(2011·天津高考)对实数a和b,定义运算“”:ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()(A)(-1,1］∪(2,+∞)(B)(-2,-1］∪(1,2］(C)(-∞,-2)∪(1,2］(D)［-2,-1］ 【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①新定义实数a、b满足运算“”.②函数f(x)是满足新定义运算的关系式.③函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点.(2)信息分析：①根据新信息规定，可得出f(x)的解析式，f(x)解析式应该是分段函数.②y=f(x)-c的图象是由y=f(x)的图象上下平移得到的,数形结合平移图象即可得出所需结论. 【解题流程】选B. 【阅卷人点拨】创新点拨1.本题在给出题目条件时有创新，新定义了两个实数的运算法则.考查了学生的审题能力和面对新问题的分析思维能力.2.本题在问题设置上也有创新，求函数f(x)-c与x轴的交点，实际在考查函数f(x)的图象变换，改变设问方式，旨在考查学生的灵活应变能力. 备考策略1.对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规定理解透彻，并对各项要求认真分析作出标记，找出问题的关键点、易混易错点.2.在复习中要利用专题训练的方式，把新定义问题归类研究，找出各种条件下的新定义问题，比较异同，归纳出通性通法，达到举一反三、触类旁通的效果. 幂函数的概念、图象、性质1.幂函数的定义形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.【考点突破区】 2.五种幂函数的图象 3.五种幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域_________________________值域________________________________奇偶性__________________单调性____________________________________________________________________定点______函数特征性质RRR［0,+∞){x|x∈R且x≠0}R［0,+∞)R［0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇x∈［0,+∞)时,增x∈(-∞,0］时，减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(1,1)增 【状元心得】1.幂函数的三个特征(1)指数为常数；(2)底数为自变量x;(3)xα的系数为1.2.比较幂函数值的大小的常用方法(1)若幂的指数相同，构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小； (2)若幂的底数相同，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；(3)若幂的底数和指数均不相同，找一个中间量，使它与一个幂的底数相同，而与另一个幂的指数相同，分别将此中间量与它们比较. 【特别提醒】比较既有幂值，又有对数值的大小问题时，一般引入中间量，分组比较大小. 3.幂函数y=xα图象特征(1)当α>0时，①图象都过(0,0)点，(1，1)点.②在第一象限内函数值随着x的增大而增大.③在第一象限内，α>1时，图象向下凸；0