幂函数中档题(含答案)

实用文档3.3幂函数中档题 一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（  ）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（  ）A．B．C．D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（  ）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（  ）A．B．C．D． 二．填空题（共1小题）标准文案 实用文档5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是  ． 三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．7．已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．8．已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）标准文案 实用文档（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．14．已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．16．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围． 标准文案 实用文档3.3幂函数中档题参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题）1．（2015•吉安一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（  ）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目． 2．（2015秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（  ）标准文案 实用文档A．B．C．D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=xa，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题． 3．（2015秋•九江校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（  ）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；标准文案 实用文档又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目． 4．（2014•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（  ）A．B．C．D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．【解答】解：因为函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题． 二．填空题（共1小题）5．（2016春•厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是 ②③ ．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．标准文案 实用文档由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定． 三．解答题（共13小题）6．（2016春•宜春校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范围为[0，1]【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题． 7．（2016春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；标准文案 实用文档（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目． 8．（2015秋•资阳期末）已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．（Ⅱ）函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x﹣1）=，推导出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值范围．标准文案 实用文档【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值范围为（2﹣lg2，2）．（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 9．（2015秋•长沙校级期中）．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③当a＞e时，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．标准文案 实用文档【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用． 10．（2014秋•旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m2﹣2）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵幂函数g（x）=（m2﹣2）xm（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣，∴g（x）=；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=，∴设f（x）=logax（a＞0且a≠1），∴loga（﹣m+1）+loga（﹣m﹣1）=，即loga（m2﹣1）=loga2=，解得a=4，∴f（x）=log4x；（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），且f（x）=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴，解得；即＜a＜2，∴实数a的取值范围是（，2）．【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目． 标准文案 实用文档11．（2013秋•大姚县校级期末）函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；∴a=0，∴f（x）=；（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；∴==；∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题． 12．（2011•福建模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论标准文案 实用文档【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C=S梯形AA'C'C﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f（a）的值，直接法求g（a）=AC•BB′．（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）﹣g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′，则f（a）=S△AB'C=S梯形AA'C'C﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'===（），g（a）=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=，==，∴f（a）＜g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想． 13．（2011秋•高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．【分析】（1）幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．（2）再根据幂函数y=xα的单调性，求满足的a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴标准文案 实用文档等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值范围为【点评】幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意． 14．（2010秋•如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．【分析】（1）设y=xa，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．【解答】解：（1）设y=xa，代入，得a=﹣1，∴．（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，∴f（x）为奇函数．单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），即f（3x+2）＞f（4﹣2x），①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，综上所述，或x＞2．标准文案 实用文档【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式． 15．（2010秋•盐城校级期末）已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的范围．【解答】解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），∴3=27α∴，∴故函数在（﹣∞，+∞）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=loga（x+3）∵0＜a＜1，∴y=loga（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减所以当x=﹣2时y取得最大值0，当x=﹣1时y取得最小值loga2∵|y|≤2∴﹣loga2≤2【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式． 16．（2007秋•虹口区校级期末）已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，标准文案 实用文档所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用． 17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【分析】（1）因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有，m﹣1=1，函数f（x）=（m﹣1）才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；（2）根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）有f（x）为幂函数，得m﹣1=1，∴M=2，∴f（x）=，（x≠0），∴g（x）=，由g（﹣x）=（﹣x）+=﹣（），∴函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；（2）设任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=（=，由x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，得：x1﹣x2＞4，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题． 18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．标准文案 实用文档【分析】（1）由幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解出即可得出．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，依题意，c＞[﹣（x+1）2+3]max．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解得m=1，∴f（x）=x4．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．∴实数c的取值范围是c＞3．【点评】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 标准文案