复数项级数幂函数

第四章复变函数的级数【P43-61】(3学时)§2-1级数的基本性质【P43-47】无穷级数：将无穷多个数相加，写成的形式，就称为无穷级数，记为。无穷级数的收敛性问题：无穷级数仅仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有“和数”呢？这个“和数”的确切意义是什么呢？收敛与发散：定义无穷级数的前N项的和。如果当时趋向于一个固定的极限值S，就称该无穷级数是收敛，该极限值S就是该无穷级数的“和”，即：。若当时的极限不存在，就称无穷级数发散。（一）复数项级数本章我们主要学习复变函数项级数的性质。在学习复变函数项级数之前，先简单介绍一下复数项级数。1．复数项级数：如果无穷级数中的每一项均为复数，该级数就称为复数项级数。2．复数项级数的收敛性：将复数项级数中的复数项表示为,其中分别为的实部和虚部，则:,从而复数项级36 数的收敛问题就归结为两个实数项级数与的收敛问题。如果实数项级数与都是收敛的，则复数项级数也是收敛的，否则复数项级数就是发散的。因为复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数的收敛问题，于是实数项级数的许多性质和规律常可直接移用于复数项级数。如实数项级数收敛的柯西判据对复数项级数也成立：复数项级数收敛的充分必要条件是：对于任意给定的，必定存在一个自然数，使得当时，，其中为任意自然数。（即自+1项起，后面任意有限项的和的绝对值都小于.特别地如取，则，即。所以收敛级数的通项的极限必定趋于.）3．复数项级数的绝对收敛性：若收敛，则称复数项级数绝对收敛。绝对收敛的比值判别法和根式判别法：如果当时，或趋向于一个确定的极限，则级数在时绝对收敛，在时发散。36 （二）复变函数项级数复变函数项级数，即级数中的每一项均为复变量的复变函数，。1．复变函数项级数的收敛性：(1)点收敛:若对某个区域内（或某根曲线上）的某一点级数是收敛的，就称函数项级数在点收敛。（2）域收敛:若对区域内（或曲线上）的所有点，（或）都是收敛的，则称级数在区域内（或曲线上）收敛。(3)和函数：若级数在区域内（或曲线上）收敛（域收敛），则级数是区域内（或曲线上）的一个函数，即对区域内（或曲线上）任一给定的，都有一个函数值（即级数的和）与之对应。函数是级数在区域内（或曲线上）的“和函数”，即是说对区域内（或曲线上）任一给定的，都有.36 2．复变函数项级数的柯西收敛判据：在区域内（或曲线上）上收敛的充要条件是:对于任一给定的（或）和任意给定的正数，必定存在一个自然数，使当时，，其中为任意自然数。（即自第+1项起，后面任意有限项的和的绝对值都小于.特别地如取，则，即。）3．复变函数项级数的一致收敛性：复变函数项级数在区域内（或曲线上）一致收敛，是指不仅在区域内（或曲线上）上每一点都是收敛的，而且对于所有的（或所有的），任给，必定存在一个自然数（它与有关，但与无关），使当时，对所有的（或）都成立，其中为任意自然数。函数项级数在区域内(或曲线上)“收敛”与在区域内(或曲线上)“一致收敛”的区别是：对于通常意义上的“收敛”，一般地是依赖于的，若与无关，即为一致收敛。36 （三）一致收敛的复变函数项级数的一些性质性质一（连续性）：如果级数的每一项都是在区域D内（或曲线）的连续函数，并且级数在区域D内（或曲线）一致收敛于，则和函数也是区域D内（或曲线）的连续函数。性质二（可积性）：如果级数的每一项都是曲线上的连续函数，而且级数在上一致收敛于，则级数可以沿这一曲线逐项积分：。（即积分运算和求和运算的顺序可以交换。）性质三：如果对于区域D内（或曲线上）的所有点，级数的每一项的绝对值都不大于一个收敛的正项级数的对应项：，则级数在区域D内（或曲线上）绝对且一致收敛。性质四：若复变函数项级数在区域D内（或曲线上）一致收敛，而是区域D内（或曲线上）的一个有界的函数（例如连续函数），则36 乘以的每一项，所得到的级数也在在区域D内（或曲线上）且一致收敛。维尔斯特拉斯定理（和函数的解析性）：若复变函数项级数的各项均于区域内解析，且级数在区域内一致收敛于函数，则：⑴和函数也在区域内解析；⑵和函数在内可以逐项求导至任意多阶，并且（即求导运算与求和运算的顺序可以交换）。说明：该性质只对一致收敛的解析函数项级数才成立。36 §2-2幂级数【P47-50】最重要的复变函数项级数是幂级数，即每一项均为复变量z的幂函数的级数：，其中都是复常数，称为以为中心的幂级数。（一）幂级数的收敛性阿贝尔定理：若幂级数在点收敛，则它必在以b为圆心并通过点的圆内绝对收敛，并在任何一个略小于这圆的闭圆内一致收敛。证明：由于复数项级数收敛，故有，因而存在一个正数，使得对一切，都有：.这样一来，就有:对以b为圆心并通过点的圆内的任意一点，因有，级数是一个收敛的等比级数，故知原幂级数在以b为圆心并通过点的圆内每一点都是收敛的，并且是绝对收敛。下面证明幂级数在任何一个略小于这圆的闭圆内一致收敛。为此将写成：，，36 因当在闭圆中时，有：，故对闭圆中的所有点，有：。因为，正项级数是一个收敛的等比级数。这意味着对闭圆中的所有点，幂级数的每一项的绝对值都不大于一个收敛的正项级数的对应项，根据前述性质3，幂级数在闭圆中绝对而且一致收敛。阿贝尔定理推论：若幂级数在点发散，则在距离b点比更远的一切点，级数都发散。即对以b为圆心并通过点的圆外面的所有点，级数都是发散的。(用反证法证明)。（二）幂级数的收敛圆和收敛半径综合阿贝尔定理及其推论，对于幂级数，有：（1）若幂级数在某点收敛，则必在离展开中心更近的点收敛；（2）若幂级数在某点发散，则必在离展开中心更运的点发散。—幂级数的收敛区域与发散区域不会交错出现！！（3）如此得到一个非常重要的结论：对于幂级数，必然存在一个以展开中心为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外发散。36 这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。（至于在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。）两种特殊情况：（1）收敛半径，幂级数在整个复平面上除圆心点之外的所有点都是发散的；（2）收敛半径，则幂级数在整个复平面上所有点都是收敛的。（三）幂级数的收敛半径的两种求法根据阿贝尔定理及其推论，幂级数在收敛圆内是绝对收敛的，因而可以利用这一定理来求收敛半径。由正项级数的比值判别法可知，如果：当时，，则当时级数收敛，级数发散。亦即当时级数收敛，当时级数发散。故幂级数的收敛半径为：36 同样，由正项级数的根值判别法可得到求收敛半径的另一个公式：总结：收敛半径通常有两种求法，即比值判别法和根值判别法：，例1：求的收敛半径。解：，即级数在整个复平面上收敛。例2：求的收敛半径。解：，即级数只在时收敛。（四）幂级数在收敛圆内的性质36 1．幂级数在收敛圆内的一致收敛性：根据阿贝尔定理可知，幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆（略小于收敛圆的半径）内一致收敛。（在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。）2．幂级数在收敛圆内的解析性：因为幂级数在其收敛圆内是一致收敛的，同时的每一项均为的解析函数，所以其和函数在收敛圆内解析，且可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径。3．幂级数的系数与和函数的关系：设，则（收敛半径与一样），，，，此即为幂级数的系数与和函数的关系。36