幂函数及指数函数

菁优网www.jyeoo.com2014年07月20日niuxs的高中数学组卷©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com2014年07月20日niuxs的高中数学组卷 一．解答题（共30小题）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性． 2．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为 _________ ． 3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），（1）求函数y=f（x）的解析式，并用描点法画出函数f（x）的图象（2）用定义证明函数的单调性． 4．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k），k∈N+，且满足f（2）＜f（3）．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为．若存在，求出此q值；若不存在，请说明理由． 5．已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围． 6．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]． 7．已知函数为幂函数，求其解析式． 8．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf（x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com 10．（2014•眉山二模）设关于x的方程x2+tx﹣1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=）．（1）用t表示f（α）+f（β）；（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：﹣2β＜f（）+f（）＜﹣2α． 11．（2013•闸北区一模）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明） 12．（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围． 13．（2011•普陀区三模）（理）已知函数．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com 14．（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由． 15．（2009•虹口区二模）已知函数f（x）=（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f（x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围． 16．（2007•嘉定区一模）已知函数，m＞0且f（1）=﹣1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（﹣∞，m﹣1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解． 17．（2006•崇文区二模）设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R上单调递减；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a的范围． 18．已知函数©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（1）由，，，这几个函数值，你能发现f（x）与有什么关系？并证明你的结论；（2）求的值；（3）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性． 19．利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A的面积为1等．M，N是函数图象的交点．（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区B的面积；③写出M，N的坐标．（Ⅱ）设，证明：对任意的正实数x1，x2，都有． 20．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是，最大值是．请解答以下问题：（1）判断函数g（x）=﹣x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（2）若函数，求实数t的取值范围． 21．（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明． 22．（2012•长宁区一模）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值． 23．（2008•闸北区二模）设f（x）=ax+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）﹣1成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域． 24．已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围． 25．已知函数（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．（2）记函数g（x）=f（﹣x），x∈[﹣2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围． 26．已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=﹣2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 27．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围 28．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之． 29．已知，x∈（0，1）；（1）试判断并证明f（x）的单调性；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（﹣x）=λ有实数解？ 30．已知函数的图象经过点A（1，3）和B（2，6），g（x）=2x+m﹣3+b，其中m为实数．（1）求实数a，b的值；（2）若对一切x∈[﹣2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围． ©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com2014年07月20日niuxs的高中数学组卷参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题）1．已知幂函数y=f（x）的图象过点，求出此函数的解析式，并判断并证明f（x）的奇偶性．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的概念设f（x）=xa，将点的坐标代入即可求得a值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．解答：解：设f（x）=xa将代入得（2分）解方程得：a=﹣1，∴（4分）定义域为{x|x≠0}（5分）∵，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com∴f（x）为奇函数（8分）点评：解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，本题考查的知识点是奇（偶）函数性． 2．设函数f（x）=xα+1（α∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为 ﹣5或9 ．考点：幂函数的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．解答：解：∵函数f（x）=xα+1∴f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，①当函数y=f（x）﹣1=xα，是奇函数时，∴其图象关于原点对称，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com又函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴函数f（x）﹣1在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，由对称性知：函数f（x）﹣1在区间区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）在区间区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5；②当函数y=f（x）﹣1=xα，是偶函数时，∴其图象关于原点对称，又函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴函数f（x）﹣1在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，由对称性知：函数f（x）﹣1在区间区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）在区间区间[﹣b，﹣a]©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为9；故答案为：﹣5或9．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），（1）求函数y=f（x）的解析式，并用描点法画出函数f（x）的图象（2）用定义证明函数的单调性．考点：幂函数的性质．菁优网版权所有专题：计算题；作图题．分析：（1）根据幂函数的特点，设所求的幂函数解析式是y=xα．再将点（2，），的坐标值代入解析式，求得α的值．即可求得幂函数的具体解析式，再列表描点画图，首先列表，再根据表中的x、y对应坐标值，描点，画出函数的图象．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）先求出函数的定义域再作出判断，然后再用定义法证明，可任取0＜x1＜x2，用定义证明．解答：解：（1）由于幂函数y=f（x）的图象过点（2，），设所求的幂函数解析式是y=xα．由于所求图象过点（2，），可得．解得α=﹣，所以函数y=f（x）的解析式f（x）=，（x＞0）．列表：x…149…y…421…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数在定义域上是减函数，证明如下：任取0＜x1＜x2，则=∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，+∞），上是单调减函数．点评：本题考查幂函数的性质、函数单调性的判断与证明，本注意作题的格式先判断后证明，用定义法证明时要注意证明的格式． 4．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k），k∈N+，且满足f（2）＜f（3）．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上值域为．若存在，求出此q值；若不存在，请说明理由．考点：幂函数的性质．菁优网版权所有专题：计算题；选作题．分析：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）写出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．解答：解：（1）由题意知（2﹣k）（1+k）＞0解得﹣1＜k＜2又k∈N+∴k=1分别代入原函数得f（x）=x2（2）由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，假设存在这样的正数q符合题意，则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得又g（2）=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4解得q=2此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com符合题意．点评：本题考查幂函数的单调性、二次函数的值域问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 5．已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．考点：幂函数的性质；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解答：解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：点评：本题考查利用幂函数的性质得到单调性，利用待定系数法求出函数的解析式，利用单调性解抽象不等式． 6．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．考点：幂函数的性质；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）由指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数，知a＞1，由幂函数f（x）=xa为奇函数，知a=3．（2）f（x）=x3©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com在（0，+∞）上为增函数．用定义法进行证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=，由x1＜x2，知x1﹣x2＜0，＞0，f（x1）＞f（x2）．由此知f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数．（3）f[g（x）]=（3x）3=33x，g[f（x）]=，所以原方程等价于33x=，由此能求出结果．解答：解：（1）a=3．…1分∵指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数，∴a＞1，∴a只可能为2或3．而当a=2时，幂函数f（x）=x2为偶函数，只有当a=3时，幂函数f（x）=x3为奇函数．（只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分（2）f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数．…1分证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，x1＜x2，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.comf（x1）﹣f（x2）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）=，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数．…3分（3）f[g（x）]=（3x）3=33x，g[f（x）]=，∴33x=，…2分根据指数函数的性质，得3x=x3，∴x1=0，x2=，x3=．…1分．点评：本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 7．已知函数为幂函数，求其解析式．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com分析：利用幂函数的定义：系数为1列出方程求出m值，求出f（x）的解析式即可．解答：解：依题意f（x）是幂函数，可得：，解得m=2或m=1，当m=1时，其解析式f（x）=x；当m=2时，其解析式f（x）=x，都适合题意．故函数的解答式为f（x）=x或f（x）=x点评：本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数为幂函数．属于基础题． 8．已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1﹣mf（x）+（4m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：幂函数的性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用幂函数的定义和单调性即可得出；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）利用二次函数的对称轴与0，1的大小关系和其单调性即可解出．解答：解：（1）∵幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈z）在（0，+∞）上递增，∴（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，又∵k∈Z，∴k=0或1．当k=0或1时，（2﹣k）（1+k）=2，∴幂函数f（x）=x2；（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（4m﹣1）x+1，∵m＞0，∴﹣m＜0，g（x）=．①当≤0，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；②当，m＞0时，解得，则g（x）在[0，1]©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com上单调递增，因此在x=1处取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得，满足条件；③当，m＞0时，解得，则g（x）在处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，而g（0）=1不符合要求；由g（1）=5，即3m=5，解得，不满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且．点评：熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键． 9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系考点：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com幂函数图象及其与指数的关系．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式确定函数的奇偶性和单调性，从而找到它对应的函数图象．解答：解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）定义域[0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞）是增函数；通过上面分析，可以得出对应关系为：（1）↔（A），（2）↔（F），（3）↔（E），（4）↔（C），（5）↔（D），（6）↔（B）．点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com 10．（2014•眉山二模）设关于x的方程x2+tx﹣1=0的两根为α，β（α＜β，函数f（x）=）．（1）用t表示f（α）+f（β）；（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1，x2，求证：﹣2β＜f（）+f（）＜﹣2α．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）借助于根与系数的关系进行求解即可；（2）先求导数，然后判断导数值的正负情况进行判断；（3）借助于单调性直接进行求证．解答：解：（1）根据根与系数的关系，得α+β=﹣t，αβ=﹣1，∴==，∴f（α）+f（β）=t；（2）∵=©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com∵x∈[α，β]，x2+tx﹣1=（x﹣α）（x﹣β）≤0，∴x∈[α，β]，f′（x）≥0，∴f（x）在[α，β]上是增函数；（3）∵，，∴，同理，得，∴，，以上两式相加，得），由（1）知，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，∴﹣2β＜f（）+f（）＜﹣2α．点评：本题综合考查函数的基本性质，注意转化思想在解题中的灵活运用． 11．（2013•闸北区一模）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）由单调性的定义可x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2，则可得f（﹣x1）＜f（﹣x2），由奇函数的性质可得﹣f（x1）＜﹣f（x2），进而可得f（x1）＞f（x2），即得单调性；（2）举出例子即可，举分段函数．解答：解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2（2分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com由y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数，有f（﹣x1）＜f（﹣x2），（3分）又由y=f（x）是奇函数，有﹣f（x1）＜﹣f（x2），即f（x1）＞f（x2）．（3分）所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（1分）（2）如函数满足在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，但在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数（6分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题． 12．（2013•嘉定区二模）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：指数函数综合题．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的定义：对任意x∈©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.comR，f（﹣x）=﹣f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）（理）利用换元法，将函数转化为二次函数，研究函数的单调性，得到函数g（x）取得最小值．利用条件，就可以求m的值．（文）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）ax=﹣ax+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（ax+a﹣x）﹣（ax+a﹣x）=0，（k﹣2）（ax+a﹣x）=0，因为x为任意实数，所以k=2．解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1﹣（k﹣1）=0，k=2．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com当k=2时，f（x）=ax﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），f（x）是奇函数．所以k的值为2．（2）（理）由（1）f（x）=ax﹣a﹣x，因为，所以，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得，所以g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，h（t）在上是增函数，则，，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com解得（舍去）．当时，则f（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．（2）（文）由（1）知f（x）=ax﹣a﹣x，由f（1）＜0，得，解得0＜a＜1．当0＜a＜1时，y=ax是减函数，y=﹣a﹣x也是减函数，所以f（x）=ax﹣a﹣x是减函数．由f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，所以f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（x2+tx）＜f（x﹣4）．因为f（x）是R上的减函数，所以x2+tx＞x﹣4即x2+（t﹣1）x+4＞0对任意x∈R成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．所以，t的取值范围是（﹣3，5）．点评：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题． 13．（2011•普陀区三模）（理）已知函数．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；循环结构．菁优网版权所有专题：计算题；证明题．分析：（1）先求出函数的定义域，得到定义域关于原点对称，在检验﹣x与x的函数值之间的关系，得到奇函数．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）根据单调性的定义，设出已知大小关系的任意两个变量，利用定义证明函数的单调性，得到函数是一个增函数．（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0．解答：解：（1）由得，则，任取，都有f（﹣x）==﹣f（x），则该函数为奇函数．（2）任取0＜x1＜x2＜1，则有0＜x12＜x22＜1⇒2﹣x12＞2﹣x22＞1，⇒ln（2﹣x12）＞ln（2﹣x22）＞0．又©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，所以，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0且即可．我们可以先确定a5，a6使得a5+a6=0，因为公差不为零的等差数列{an}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com中，即可满足要求．所以只要a5，a6对应的点尽可能的接近原点．如取a5=﹣0.1，a6=0.1，存在满足条件的一个等差数列{an}可以是an=0.2n﹣1.1（1≤n≤10，n∈N*）．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，以及借助于程序框图考查等差数列的有关性质，解题的关键是看清题目的实质，抓住解题的主要方法． 14．（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．考点：指数函数综合题．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）根据已知条件，将代入函数表达式，得f（x）=ax+k•a﹣x，再利用奇函数和偶函数的定义，用比较系数的方法，得出函数奇偶性的两种不同情况；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）因为a＞1，0＜b＜1，根据指数函数单调性的定理，可得函数y=ax是增函数，y=bx减函数，再根据函数单调性的运算法则，得出函数f（x）=ax+k•bxR上的是增函数，最后用函数单调性的定义加以证明；（3）根据函数f（x）=2x+k•2﹣x的图象是轴对称图形且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，即得到即对任意实数x，f（m﹣x）=f（m+x），代入表达式，采用比较系数法，可得2m﹣k•2﹣m=0，最终求出．解答：解：（1）由已知，，于是f（x）=ax+k•a﹣x，则f（﹣x）=a﹣x+k•ax，…（1分）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（﹣x），即ax+k•a﹣x=a﹣x+k•ax，所以（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0对任意实数x恒成立，所以k=1．…（3分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x+k•ax=﹣（ax+k•a﹣x），所以（k+1）（ax+a﹣x）=0对任意实数x恒成立，所以k=﹣1．…（5分）综上，当k=1时，f（x）是偶函数；当k=﹣1时，f（x）奇函数，当k≠±1，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）（2）因为a＞1，0＜b＜1，所以函数y=ax是增函数，y=bx减函数，由k≤0知，y=ax+k•bx是增函数，所以函数f（x）在R是增函数．…（8分）证明如下：设x1、x2∈R且x1＜x2，则=因为a＞1，0＜b＜1，x1＜x2，k≤0，所以，，所以f（x2©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com）﹣f（x1）＞0，所以函数f（x）在R是增函数．…（11分）（3）f（x）=2x+k•2﹣x，若函数f（x）的图象是轴对称图形，且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，即对任意实数x，f（m﹣x）=f（m+x），…（14分）2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）=2m+x+k•2﹣（m+x），化简得（2x﹣2﹣x）（2m﹣k•2﹣m）=0，…（16分）因为上式对任意x∈R成立，所以2m﹣k•2﹣m=0，．…（17分）所以，函数f（x）的图象是轴对称图形，其对称轴是直线．…（18分）点评：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com本题是一道函数综合题，属于难题．着重考查了函数的单调性与奇偶性和函数图象的对称性，解题时要注意有关定义和结论的正确理解与准确应用． 15．（2009•虹口区二模）已知函数f（x）=（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f（x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：综合题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）当x＞0时，f（x）==，利用单调性的定义设0＜x1＜x2，判定f（x1）与f（x2）的大小即可（2）当x∈[2，3]时，f（x）==结合x∈[2，3]可求f（x）的范围，若f（x）=k在[2，3]上有解，则f（x）的范围即是k的范围（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根，当x=0时，是方程（*）的1个根，则只要©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com有3个不为0的根，而结合函数g（x）=的图象可求解答：解：（1）当x＞0时，f（x）==设0＜x1＜x2∴==∵0＜x1＜x2∴2（x1﹣x2）＜0，（2+x1）（2+x2）＞0∴∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增（2）当x∈[2，3]时，f（x）==∴4≤2+x≤5，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com∴∵f（x）=k在[2，3]上有解，则（3）f（x）=kx2有四个根，即（*）有四个根当x=0时，是方程（*）的1个根则有3个不为0的根而结合函数g（x）=的图象可知满足条件时有∴k＞1点评：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com本题主要考查了函数的单调性的判断，函数值域的求解，方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用 16．（2007•嘉定区一模）已知函数，m＞0且f（1）=﹣1．（1）求实数m的值；（2）判断函数y=f（x）在区间（﹣∞，m﹣1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．考点：函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）将已知条件f（1）=﹣1，解得|m|=1，再结合m是正数，可得m=1；（2）将（1）的结论代入得（﹣∞，m﹣1]=（﹣∞，0]根据函数单调性的定义，可设x1，x2∈（﹣∞，0]，且x1＜x2，通过作差化简整理，最后得到f（x1）﹣f（x2）＜0，说明函数在区间（﹣∞，m﹣1]上是个增函数；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（3）首先，方程f（x）=kx有一个解x=0，然后分x＞0和x＜0加以讨论：当x＞0且x≠2时，方程转化为，得到，解不等式得或k＞0；当x＜0时，则，解得，解不等式得．最后综合可得方程f（x）=kx解集的情况．解答：解：（1）由f（1）=﹣1，得，|m|=1，∵m＞0，∴m=1．（4分）（2）由（1），m=1，从而，只需研究f（x）在（﹣∞，0]上的单调性．当x∈（﹣∞，0]时，．设x1，x2∈（﹣∞，0]，且x1＜x2，则，（6分）∵x1＜x2≤0，∴x1﹣x2©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com＜0，x1﹣2＜0，x2﹣2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调递增函数．（10分）（3）原方程即为…①x=0恒为方程①的一个解．（11分）若x＜0时方程①有解，则，解得，由，得；（13分）若x＞0且x≠2时方程①有解，则，解得，由且，得或k＞0．（15分）综上可得，当时，方程f（x）=kx有且仅有一个解；当©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com时，方程f（x）=kx有两个不同解；当时，方程f（x）=kx有三个不同解．（18分）点评：本题以含有绝对值的分式函数的形式为例，考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题． 17．（2006•崇文区二模）设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R上单调递减；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a的范围．考点：函数单调性的判断与证明；交集及其运算；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，（1）令m＞0，n=0，代入已知条件，即可求得结果；（2））∀x1＜x2∈R，则x2﹣x1＞0，0＜f（x2﹣x1）＜1，f（x1）＞0⇒f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com）﹣f（x1）=f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0代入已知条件即可判定函数的单调性．（3）f（x2）f（y2）＞f（1）⇒f（x2+y2）＞f（1）结合函数f（x）在R上单调递减得到x2+y2＜1；f（ax﹣y+2）=1=f（0）⇒ax﹣y+2=0（一条直线）结合直线与圆的位置关系即可确定a的范围．解答：解：（1）证明：f（m+n）=f（m）•f（n），令m＞0，n=0，⇒f（m）=f（m）f（0）已知x＞0时0＜f（x）＜1．⇒f（0）=1设m=x＜0，n=﹣x＞0，f（﹣x）∈（0，1）⇒f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1⇒f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1 …（4分）（2）∀x1＜x2∈R，则x2﹣x1＞0，0＜f（x2﹣x1）＜1，f（x1）＞0⇒f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=f（x1©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0∴f（x）在R上单调递减．              …（10分）（3）f（x2）f（y2）＞f（1）⇒f（x2+y2）＞f（1）f（x）在R上单调递减⇒x2+y2＜1（单位圆内部分）f（ax﹣y+2）=1=f（0）⇒ax﹣y+2=0（一条直线）A∩B=φ⇒⇒a2≤3⇒a∈[，]…（16分）点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数单调性的判断与证明、函数的奇偶性的定义，属基础题． 18．已知函数（1）由，，，这几个函数值，你能发现f（x）与有什么关系？并证明你的结论；（2）求的值；（3）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性．考点：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com函数单调性的判断与证明；函数的值；归纳推理．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）通过观察这几个函数值，发现f（x）+f（）=1，由函数f（x）的解析式可得到证明；（2）利用（1）中的结论将自变量互为的两个函数值相加即可救是答案；（3）利用函数单调性的定义进行证明即可，先设0＜x1＜x2由0＜x1＜x2知x1﹣x2＜0最后证得：f（x1）＜f（x2）从而函数在区间（0，+∞）上为增函数．解答：解：（1）f（x）+f（）=（12分）f（x）+f（）=+=1（5分）（2）（8分）（3）设0＜x1©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com＜x2（11分）由0＜x1＜x2知x1﹣x2＜0（12分）所以有即f（x1）﹣f（x2）＜0所以f（x1）＜f（x2）函数在区间（0，+∞）上为增函数（14分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的值、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题． 19．利用自然对数的底数e（e=2.71828…）构建三个基本初等函数．探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图象形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A的面积为1等．M，N是函数图象的交点．（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区B的面积；③写出M，N的坐标．（Ⅱ）设，证明：对任意的正实数x1，x2，都有．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com考点：指数函数综合题．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）数形结合可得①三个函数的图象形成的图形的一条对称轴方程，再根据②阴影区A、B关于直线y=x对称，求得阴影区B的面积．以及③M、N的坐标．（Ⅱ）先化简不等式的两边，再用作差比较法证得不等式成立．解答：解：（Ⅰ）∵（x＞0）的图象是反比例函数（x≠0）的图象位于第一象限内的一支，∴（x＞0）的图象关于直线y=x对称．又y=ex，y=lnx=loge©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.comx互为反函数，它们的图象关于直线y=x互相对称，从而可知：①三个函数的图象形成的图形的一条对称轴方程为y=x．②阴影区A、B关于直线y=x对称，故阴影区B的面积为1．③M（1，e），N（e，1）．（6分）（Ⅱ）由于，，====．（*）∵©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，∴，即．从而可知（*）≥0，即对任意的正实数x1，x2都成立．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和性质应用，用比较法证明不等式，属于中档题． 20．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是，最大值是．请解答以下问题：（1）判断函数g（x）=﹣x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（2）若函数，求实数t的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．菁优网版权所有专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（1）函数g（x）的定义域为R，利用导数求得函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，解得a、b的值，可得满足条件②的闭区间存在，从而g（x）属于集合M．（2）利用导数可得函数h（x）在定义域[1，+∞）上是增函数．若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得，即，且．令，则y≥0，于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有2个不等实根，利用二次函数的性质求得t的范围．解答：解：（1）函数g（x）=﹣x3的定义域为R，g′（x）=﹣3x2≤0（仅在x=0时取等号），故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，即，解得，故满足条件②的闭区间为[﹣，]．由此可得，g（x）属于集合M．（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得，即，且，…（12分）令，则y≥0，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）记u（y）=y2﹣2y+1﹣2t，∴，∴．…（16分）点评：本题主要考查函数的定义域、单调性的应用，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题． 21．（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+∞），即可求函数y=F（x）值域和零点；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性．解答：解：（1）∵f（﹣x）=，∴F（x）==﹣1+，∵f（x）＞0，∴0＜＜1∴﹣1＜F（x）＜1，故y=F（x）的值域为（﹣1，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵f（﹣x）=，∴令x=0，f（0）=±1，∵f（x）＞0，∴f（0）=1．故y=F（x）的零点为x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）对任意的x∈R，F（﹣x）==﹣=﹣F（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴y=F（x）是奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，∴对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜0．又F（x1）﹣F（x2）=﹣=＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com∴y=F（x）在定义域R上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（2012•长宁区一模）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，由＜0求得t的取值范围．（3）由f（1）=求得a的值，可得©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.comg（x）的解析式，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2﹣2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（4分）（2）∵函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=ax单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥）…（15分）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com点评：本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题． 23．（2008•闸北区二模）设f（x）=ax+b同时满足条件f（0）=2和对任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）﹣1成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域内g（x）=f（x），且函数h（x）的图象与g（x）的图象关于直线y=x对称，求h（x）；（3）求函数y=g（x）+h（x）的值域．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；反函数．菁优网版权所有分析：（1）将x=0代入f（x）b的值；写出恒成立的不等式，令a﹣2等于0，求出a的值．（2）写出g（x）的解析式；利用关于y=x对称的函数互为反函数；求出g（x）的反函数即h（x）．（3）利用两个增函数的和函数为增函数；利用函数的单调性求出函数的最值．解答：解：（1）由f（0）=2，得b=1，由f（x+1）=2f（x）﹣1，得ax（a﹣2）=0，由ax＞0得a=2，所以f（x）=2x+1．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）由题意知，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）=2x+1．设点P（x，y）是函数h（x）的图象上任意一点，它关于直线y=x对称的点为P′（y，x），依题意点P′（y，x）应该在函数g（x）的图象上，即x=2y+1，所以y=log2（x﹣1），即h（x）=log2（x﹣1）．（3）由已知得y=log2（x﹣1）+2x+1，且两个函数的公共定义域是[，2]，所以函数y=g（x）+h（x）=log2（x﹣1）+2x+1（x∈[，2]）．由于函数g（x）=2x+1与h（x）=log2（x﹣1）在区间[，2]上均为增函数，因此当x=时，y=2﹣1，当x=2时，y=5，所以函数y=g（x）+h（x）（x∈[，2]）的值域为[2﹣1，5]．点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查关于直线y=x对称的两个函数互为反函数、反函数的求法、利用函数的单调性求函数的值域． ©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com24．已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2﹣m﹣1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2﹣m﹣1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．考点：指数函数综合题；函数恒成立问题．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用f（x）=g（x）+h（x）和f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）求出g（x）和h（x）的表达式，再求出p（t）关于t的表达式即可．（2）先有x∈[1，2]找出t的范围，在把所求问题转化为求p（t）在[，]的最小值．让大于等于m2﹣m﹣1即可．（3）转化为关于p（t）的一元二次方程，利用判别式的取值，再分别讨论即可．解答：解：（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，则有f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x），即f（﹣x）=g（x）﹣h（x）②，由①②解得©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，．∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．∵，．∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，∴，．由，则t∈R，平方得，∴，∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于恒成立，∴对于恒成立，令，则，∵，∴，故在上单调递减，∴，∴为m的取值范围．（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．点评：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com本题是在考查指数函数的基础上对函数的恒成立问题，函数奇偶性以及一元二次方程根的判断的综合考查，是一道综合性很强的难题． 25．已知函数（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．（2）记函数g（x）=f（﹣x），x∈[﹣2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．考点：指数函数综合题．菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；转化思想；综合法．分析：（1）令=3，对x的范围分类进行讨论求解即可．求解本题宜分为两类，分别为x≥0时与x＜0时．（2）按a＞1，与0＜a＜1分两类对函数的最值进行讨论，求出最值，若最值与参数无关，则此时的a的范围即所求．解答：解：（1）令=3当x≥0时，方程变为a2x﹣3ax+2=0，解得ax=1或ax=2，可得=0或loga2当x＜0时，方程变为1+2=3ax，解得x=0故此类下无解．综上x=0或loga2（4分）；（2）由题设，g（x）=a|x|+2ax©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com，x∈[﹣2，+∞），下分类讨论：①若a＞1，则（ⅰ）当x≥0时，ax≥1，g（x）=3ax，∴g（x）∈[3，+∞）（ⅱ）﹣2≤x＜0时，，g（x）=a﹣x+2ax∴g'（x）=﹣a﹣xlna+2axlna=从而当即时，对∀x∈（﹣2，0），g'（x）＞0，∴g（x）在[﹣2，0）上递增∴g（x）∈，由此g（x）有最小值与a有关，不符合．当即时，由g'（x）=0得则时，g'（x）＜0；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com时，g'（x）＞0∴g（x）在上递减，在上递增，∴g（x）min==g（x）有最小值为与a无关，符合要求（6分）②若0＜a＜1，则（ⅰ）x≥0时，0＜ax≤1，g（x）=3ax，∴g（x）∈（0，3]（ⅱ）﹣2≤x＜0时，，g（x）=a﹣x+2ax，∴g'（x）=﹣a﹣xlna+2axlna=＜0，∴g（x）在[﹣2，0）上递减，∴g（x）∈，由此g（x）有最大值与a有关，不符合综上：实数a的取值范围是（6分）．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com点评：本题的考点是指数函数的综合题，考查解指数方程与指数函数下的恒成立问题求参数，在第二小题的求解中，由于参数a的取值范围不同，转化的结果不同，故采取了分类讨论的方式来探究本题，此题难度较大，是训练复杂逻辑推理的一道好题，很好地训练了分类讨论的思想与转化化归的思想． 26．已知函数f（x）=（常数a＞0），且f（1）+f（3）=﹣2．（1）求a的值；（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与的大小；（3）设g（x）=，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．菁优网版权所有分析：（1）有条件f（1）+f（3）=﹣2易得a的值．（2）可利用定义讨论函数的单调性．©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（3）实际上是根的存在行问题，可以通过等价转化求解．解答：解：（1）由f（1）+f（3）=+=﹣2．有a（a﹣2）=0．又a＞0，所以a=2．（2）由（1）知函数f（x）=，其定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），设x1、x2∈（﹣∞，2）且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，同理可得，f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．令h（x）==+2，则函数h（x）在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，当t∈©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com时，f（t）＞f=，h（t）＜h=﹣1，2h（t）＜2﹣1=，所以f（t）＞．当t∈时，f（t）＜f=7，h（t）＞h=，2h（t）＞＞23=8，所以f（t）＜．综上，当t∈时，f（t）＞；当t∈时，f（t）＜．（3）g（x）=．由题意可知，方程在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com令=t，则t≥0且t≠2，问题转化为关于t的方程mt2﹣t+2=0①，有非负且不等于2的实数根．若t=0，则①为2=0，显然不成立，故t≠0，方程①可变形为m=﹣22+，问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，所以m=﹣22+∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．点评：本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握． 27．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围考点：指数函数综合题；对数的运算性质．菁优网版权所有专题：综合题；新定义；分类讨论．分析：（1）只要能找到满足定义f（x0+1）=f（x0）+f（1）的x0的值即可说明其成立．（2）函数具有性质M说明存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），整理成（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．再分情况讨论二次项系数即可求得a的取值范围．解答：（1）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，（2分）即：，解得x0=1．（5分）所以函数f（x）=2x具有性质M．（6分）（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com代入得：．化为2（x02+1）=a（x0+1）2+a，整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．①若a=2，得．（8分）②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．（若未去掉a=2，扣1分）（14分）综上可得a．（16分）点评：本题是在新定义下对函数的综合考查．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题． 28．已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目． ©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com29．已知，x∈（0，1）；（1）试判断并证明f（x）的单调性；（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（﹣x）=λ有实数解？考点：指数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的单调性的定义证明f（x）为（0，1）上的减函数．（2）根据f（x）在x∈（0，1）上单调递减可得，由于f（﹣x）==，可得λ=f（x）+f（﹣x）=2f（x），由此求得λ的取值范围．解答：解：（1）设x1，x2∈（0，1），x1＞x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）故有==©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵，∴f（x）为减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即．∵f（﹣x）==，∴λ=f（x）+f（﹣x）=2f（x），即当x∈（0，1）时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点评：©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，函数的单调性的证明方法和步骤，属于基础题． 30．已知函数的图象经过点A（1，3）和B（2，6），g（x）=2x+m﹣3+b，其中m为实数．（1）求实数a，b的值；（2）若对一切x∈[﹣2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数综合题．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）把点A（1，3）和B（2，6）代入函数f（x）的解析式求得a和b的值．（2）由（1）可得，当﹣2≤x≤0时，＞2x+m﹣3恒成立，即x2﹣2x+3﹣2m＞0恒成立．由于函数y=x2﹣2x+3﹣2m在区间[﹣2，0]上单调递减，故当x=0时，y=x2﹣2x+3﹣2m=3﹣2m＞0，由此求得m的取值范围．解答：解：（1）把点A（1，3）和B（2，6）代入函数f（x）的解析式可得3=a+b，6=4a+b．解得a=1，b=2．（2）由（1）可得f（x）=+2，g（x）=2x+m﹣3+2，©2010-2014菁优网 菁优网www.jyeoo.com若对一切x∈[﹣2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，则当﹣2≤x≤0时，＞2x+m﹣3恒成立，即x2﹣x＞x+m﹣3恒成立，即x2﹣2x+3﹣2m＞0恒成立．由于函数y=x2﹣2x+3﹣2m在区间[﹣2，0]上单调递减，故当x=0时，y=x2﹣2x+3﹣2m=3﹣2m＞0，解得m＜，即m的取值范围为（﹣∞，）．点评：本题主要考查指数函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题． ©2010-2014菁优网