幂函数的图像与性质

-【知识结构】1．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:;②正数的负分数指数幂:③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.例2（1）计算：；（2）化简：变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）(3)--- -（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幂函数的是（）A．   B．  C．   D．例2.已知函数，当为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幂函数，当时为减函数，则幂函数．2.幂函数的图像幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；--- -3、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR[0，）值域R[0，）R[0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；x∈时，减增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减定点（1，1）例3．比较大小：（1）（2）（3）（4）4.幂函数的性质及其应用幂函数y＝xα有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．例4．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．--- -例5.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．变式：已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性.5.规律方法（1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象（2）.幂函数的图象--- -6.性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．xOy例6右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）例7若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。例8若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。--- -【巩固练习】1．在函数中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．32、幂函数的图象都经过点（）A．（1，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，0）3、幂函数的定义域为（）A．(0,+¥)B．[0,+¥)C．RD．(-¥，0)U(0,+¥)4．若幂函数在上是增函数，则()A．>0B．1B．