幂函数图象快速画法 有关幂函数部分的内容一直是教师教和学生学的难点,要突破这个难点,关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图,因为有了草图,有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然,而且也有利于培养学生数形结合的思维习惯。为此,笔者介绍一种幂函数图象速画法——三个规律,供参考。 (一)第一象限内图象类型之规律(如图1) 1.n>1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,下凸递增。 2.n=1时,过(0,0)、(1,1)的射线。 3.0<n<1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,上凸递增。 4.n=O时,变形为y=1(x≠0),平行于x轴的射线。 5.n<0时过(1,1),双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。 (二)第一象限内图象走向之规律(如图1) x≥1部分各种幂函数图象,指数大的在指数小的上方;O<x<1部分图象反之,此二部分图象在(1,1)点穿越直线y=x连成一体。 (三)各个象限内图象分布之规律 设。
1.任何幂函数在第一象限必有图象,第四象限必无图象。 2.n=奇数/偶数时,函数非奇非偶,图象只在第一象限(如图1)。 3.n=偶数/奇数时,函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称(如图2)。 4.n=奇数/奇数时,函数是奇函数,图象在第一、三象限并关于原点对称(如图3)。 下面利用这三个规律来看以下例题: 例1、分别画出(1),(2),(3),(4)的大致图象。 解:(1)=奇数/奇数<0,故双曲线型在第一、三象限,关于原点对称,如图3中的①。 (2)=偶数/奇数>1,故抛物线型,在第一、二象限,关于y轴对称,如图2中的④。 (3)=奇数/偶数>1,故抛物线型,在第一、三象限,关于原点对称,如图3中的④。
(4)=奇数/偶数,0<n<1,故抛物线型,仅在第一象限,如图2中在第一象限中的③。 例2、在同一坐标中画出幂函数,的大致图象,根据图象指出它们的定义域、值域、奇偶性、单调性和当时x的取值范围。 解:利用上述方法。可画图象如图4,从图象中不难得出全部答案(略)。 例3、请把相应的幂函数图象代号填入表格。(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9)。
利用上述方法,可很快地得出答案,为E,C,A,G,B,I,D,H,F。