二次函数、幂函数

二次函数、幂函数基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练第7课时56 二次函数、幂函数1．了解幂函数的概念．112．结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的图像，了解它223基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．4．会求二次函数在闭区间上的最值．5．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系56 去解决有关问题．【知识梳理】1．二次函数的三种表示形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)．(3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练图像定义域值域R?4ac－b2??，＋∞?4a??R?4ac－b2??－∞，?4a?56 ??b?在x∈?－∞，－2a?上单调??在?b?x∈?－∞，－2a?上??基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练增减性递减??b在x∈?－2a，＋∞?上单调??单调递增在??bx∈?－2a，＋∞?上??递增单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数56 对称性b图像关于直线x＝－成轴对称图形56 2a3.简单的幂函数函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图像1－幂函数y＝x、y＝x、y＝x2、y＝x1、y＝x3的图像如下：2基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练5．幂函数的性质比较函数性质定义域值域奇偶性RR奇R[0，＋∞)偶RR奇[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}[0，＋∞)非奇非偶{y|y∈R且y≠0}奇y＝xy＝x2y＝x31y＝x2y＝x－1基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练x∈[0，＋单调性增∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减定点(1,1)基础知识梳理x∈(0，＋∞)减，x∈(－增增时，∞，0)时，减聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练【基础自测】1．(教材改编题)已知点的表达式为(A．f(x)＝x2?M???3则f(x)，3?在幂函数f(x)的图像上，3?基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练)B．f(x)＝xα－21C．f(x)＝x21D．f(x)＝x－2解析：设f(x)＝x答案：B?，则?56 ?3?α?＝3，解得α＝－2.故选B.56 3?2．(教材改编题)设??1α∈?－1，1，，3?，则使函数2??y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(A．1,3B．－1,1)D．－1,1,3基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练C．－1,31解析：当α＝－1，时定义域不为R，当α＝1,3时定义域为R2且为奇函数．56 答案：A3．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(A．a≥3B．a≤－3)C．a5D．a≥－3基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练解析：由题意知(－∞，4]?(－∞，1－a]，∴1－a≥4即a≤－3.56 答案：B4．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当x∈[0,3]时，f(x)min＝________，f(x)max＝________.解析：f(x)＝3(x－2)2－7，∴f(x)在[0,2]上递减，在(2,3]上递增．∴f(x)min＝f(2)＝－7，f(x)max＝f(0)＝5.答案：－75基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练5．已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)，B(1,0)并经过点M(0,1)，则抛物线的解析式为________．解析：∵点A(－1,0)，B(1,0)是抛物线与x轴的交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)①将M(0,1)代入①，得1＝－a，即a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－1)＝－x2＋1.答案：y＝－x2＋1,基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练基础知识梳理◆一个特点幂函数图像的特点幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练基础知识梳理◆两个恒成立(1)ax2??a0，＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是?2??b－4ac0.??a0，＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是?2??b－4ac0.聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练(2)ax2基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练考向一幂函数基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图像关于y轴对称，mm且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－(3－2a)－的a的取值33范围．【审题视点】由幂函数的性质得到m2－2m－30，再结合m∈N＋及图像关于y轴对称可得m56 值．【解】∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又函数的图像关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而g(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，311∴(a＋1)－(3－2a)－等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a33或a＋103－2a.基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练基础知识梳理23解得a－1或a.32故???2??a的取值范围为aa－1或3????3?a?.2??聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练【方法总结】本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a56 的取值范围．11．(2011·高考陕西卷)函数y＝x的图像是(3)基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练11解析：因为当x1时，xx；当x＝1时，x＝x，所以A、C、33D错误，故选B.56 答案：B考向二二次函数的图像和性质(2012·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【审题视点】通过值域求a，b的关系是关键．基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练【解析】法一：由题意知2??aaf(x)＝x2＋ax＋b＝?x＋2?2＋b－.4??a2a2∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.44?a?2∴f(x)＝?x＋2?.???a?2a??x＋又∵f(x)＜c，∴2?＜c，即－2－?基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练ac＜x＜－＋c.2?－a－c＝m，?2∴??－a＋c＝m＋6.?2①②56 ②－①，得2c＝6，∴c＝9.法二：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，a2∴b－＝0，412?1?2∴f(x)＝x＋ax＋a＝?x＋a?.2?4?2基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练又∵f(x)c的解集为(m，m＋6)，∴m＋m＋6＝－a，1∴m＝－a－3，2?1?2?1?12∴c＝f(m)＝?－a－3?＋a?－a－3?＋a＝9.?2??2?56 4基础知识梳理聚焦考向透析【答案】9感悟经典考题课时规范训56 练【方法总结】(1)影响二次函数f(x)在区间[m，n]上最值的要素有三个，即抛物线的开口方向、对称轴位臵、闭区间；常用数形结合思想求解，但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论．(2)确定与应用二次函数单调性，常借助其图像数形结合求解．(3)二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)在闭区间上的最值讨论：当a0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，令1x0＝(p＋q)．22基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练b(1)若－p，则f(p)＝m，f(q)＝M；2a?b?b(2)若p≤－x0，则f?－2a?＝m，f(q)＝M；2a???b?b(3)若x0≤－q，则f(p)＝M，f?－2a?＝m；2a??基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练(4)若－b≥q，则f(p)＝M，f(q)＝m.2a当a0时，f(x)在[p，q]上的最大值与上述最小值讨论一致，而56 最小值类似上述最大值讨论．基础知识梳理2．函数f(x)＝x－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图像并写出g(t)的最小值．2聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练解：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当t＋12，即t1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.2t－2t－7?t1?，??从而g(t)＝?－8?1≤t≤2?，??t2－4t－4?t2?.基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练(2)g(t)的图像如图所示．∴56 g(t)的最小值为－8.基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练考向三二次函数的综合应用(2013·洛阳模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围．【审题视点】解答本题可以有两条途径：(1)分a0，a0，a基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练＝0三种情况，求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min0，从而求出a的取值范围；2222(2)将参数a分离得a－2＋x，然后求g(x)＝－2＋x的最大值xx56 即可．【解】方法一：当?1?21??a0时，f(x)＝ax－a＋2－a，由??f(x)0，基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练1??≤1x∈(1,4)得：?a??f?1?＝a－2＋2≥0?114?a或??f?1?＝2－10a?a?1a1?4??a≥1∴?或??a≥0??a1?21??≥4或?a??f?4?＝16a－8＋2≥0?a≤1，?4或??a≥3，?56 811∴a≥1或a1或?，即a，22当??f?1?＝a－2＋2≥0，a0时，???f?4?＝16a－8＋2≥0，解得a∈?；基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．1综上可得，实数a的取值范围是a.222方法二：由f(x)0，即ax－2x＋20，x∈(1,4)，得a－2＋x在56 x2(1,4)上恒成立．?11?2122令g(x)＝－2＋x＝－2?x－?＋，2?2x??1?11??，1，∴g(x)max＝g(2)＝，x∈?42?基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练1所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可．56 2【方法总结】(1)一元二次不等式问题及一元二次方程解的确基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练定与应用问题常转化为二次函数图像和性质的应用问题求解，但要注意讨论．(2)关于不等式的恒成立问题，能用分离参数法，尽量用，因为56 该法可以避开频繁地对参数的讨论．3．(2013·淮安模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝1得，c＝1，∴f(x)＝ax＋bx＋1又f(x＋1)－f(x)＝2x∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，??2a＝2，∴???a＋b＝0，??a＝1，∴???b＝－1.2基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练分类讨论在二次函数中的应用基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练(2013·黄冈模拟)已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图像；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；f?x?(3)设h(x)＝x，若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a56 的取值范围．【解题指南】解答本题(1)需将f(x)化为分段函数，从而转化为画二次函数图像的问题，但要注意函数的定义域；(2)分a＝0，a≠0两种情况讨论，而a≠0，又需按对称轴与区间[1,2]的关系，再次分类讨论．(3)可由h′(x)≥0在[1,2]上恒成立求解．基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练【规范解答】(1)当a＝1时，.1分基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练2?x＋x＋1，x0?2f(x)＝x－|x|＋1＝?2??x－x＋1，x≥0作图(如图所示56 )2分(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.3分若a≠0，则1线x＝.2a当a0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.4分11当01，即a时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)2a2＝3a－2.?1?21??f(x)＝ax－＋2a－－1，f(x)图像的对称轴是直2a?4a?基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练?1?11111当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f??＝2a－－1，当2，2a424a2a?2a?1即0a时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.5分41?6a－3，a，?4?111≤a≤，综上可得g(a)＝?2a－－1，4a42??3a－2，a1.2?基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练6分2a－1(3)当x∈[1,2]时，h(x)＝ax＋x－1，2a－1∴h′(x)＝a－2，x又∵h(x)在[1,2]上为增函数，∴h′(x)≥0在[1,2]上恒成立.7分2a－11令φ(x)＝a－2，当2a－10即a时，φ(x)在[1,2]上为减函x22a－12a＋1数，∴φ(x)min＝φ(2)＝a－＝，由h′(x)≥0，得：φ(2)＝442a＋11111≥0，得a≥－，又a，故－≤a；8分42222基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练11当2a－1＝0，即a＝时，h(x)＝x－1，显然在[1,2]上为增函数；229分1当2a－10，即a时，φ(x)在[1,2]上为增函数，2∴φ(x)min＝φ(1)＝－a＋1，由已知得：－a＋1≥0，11解得：a≤1，又a，故a≤1.11分221综上可知：－≤a≤1.12分2基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练阅卷点评分类讨论思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法．失分警示在解答本题时有以下几点容易造成失分基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练(1)在第(2)(3)中忽略了讨论．(2)在第(2)题讨论时忽视了a＝0，在第(3)题忽视了2a－1＝0.(3)未能将56 (2)(3)讨论的结果进行整合而失分．备考建议在解决二次函数图像、性质应用问题时，还有以下基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)在求闭区间上的最值时，忽视对开口方向的讨论而失误．(2)在研究二次函数单调性时，将对称轴与区间端点位臵关系弄反而失误．(3)在将一元二次不等式恒成立及一元二次方程问题转化为二次函数问题时失误．另外需要熟练掌握“三个二次”间转化的思想，才能快速正确56 地解决这些问题．11．(2012·高考山东卷)设函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是A．x1＋x20，y1＋y20B．x1＋x20，y1＋y20C．x1＋x20，y1＋y20D．x1＋x20，y1＋y20基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练解析：由题意知满足条件的两函数图像如图所示，基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练作B关于原点的对称点B′，据图可知：x1＋x20，y1＋y20，故B正确．56 答案：B2．(2012·高考山东卷)设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练解析：函数f(x)＝ax在R上是减函数，等价于0＜a＜1(符合a0且a≠1)；函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，等价于2－a＞0，又a0且a≠1，故0a1或1a2.故选A.56 答案：A3．(2012·高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a0，∴0a8，即a的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练4．(2012·高考北京卷)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．解析：由g(x)＝2x－20，解得x1.∵?x∈R，f(x)0或g(x)0，∴当x≥1时，f(x)0恒成立．即f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)0恒成立．m0，??则有?2m1，成立，即－4m0.??－m－31答案：(－4,0)基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练基础知识梳理本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训56 练56