指、对数函数,幂函数

竞赛辅导内部讲义§4指、对数函数,幂函数  指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当00,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当00,N>0）；1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1).5.函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a0且f(1)>0（因为-10，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2、（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。【证明】令f(x)=（）x2-2()x+=,15 竞赛辅导内部讲义因为>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.展开得（）()≥()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。【解】u==xy+≥xy++2·=xy++2.令xy=t，则00，所以y=2,x=4.所以方程组的解为.例9已知a>0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。15 竞赛辅导内部讲义【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解.由①可得2kx=a(1+k2)，④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k.若k1，所以k0，则k2